Dubbio su $K[x,y]$
Ciao!
Vi posso chiedere come si fa a dimostrare che $K[x,y]$ non è isomorfo a $K[x] x K[y]$?
Gli elementi di $K[x,y]$ sono tutte le combinazioni lineari di $x^hy^k$ mentre $K[x]$ e $K[y]$ hanno come elementi tutte le combinazioni lineari rispettivamente di $x^h$ e $y^k$. Posso dire che non sono isomorfi perché i polinomi in $x$ e $y$ non si possono sempre scrivere come prodotto di polinomi in $x$ per polinomi in $y$?
Ad esempio il polinomio $f=xy-x=x(y-1)$ si può scrivere come prodotto di un polinomio solo in $x$ ($x$) per un polinomio solo in $y$ ($y$).
Mentre il polinomio $g=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ non si può scrivere come prodotto di un polinomio solo in $x$ per un polinomio solo in $y$.
E' giusto questo ragionamento?
Inoltre come faccio a trovare un ideale $I$ di $K[x,y]$ tale che $(K[x,y])/I$ sia un campo?
Dovrei trovare un ideale massimale...ma $K[x,y]$ non è un dominio a ideali principali quindi non posso usare la proposizione "$I=(f)$ massimale se e solo se $f$ è irriducibile"
Vi posso chiedere come si fa a dimostrare che $K[x,y]$ non è isomorfo a $K[x] x K[y]$?
Gli elementi di $K[x,y]$ sono tutte le combinazioni lineari di $x^hy^k$ mentre $K[x]$ e $K[y]$ hanno come elementi tutte le combinazioni lineari rispettivamente di $x^h$ e $y^k$. Posso dire che non sono isomorfi perché i polinomi in $x$ e $y$ non si possono sempre scrivere come prodotto di polinomi in $x$ per polinomi in $y$?
Ad esempio il polinomio $f=xy-x=x(y-1)$ si può scrivere come prodotto di un polinomio solo in $x$ ($x$) per un polinomio solo in $y$ ($y$).
Mentre il polinomio $g=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ non si può scrivere come prodotto di un polinomio solo in $x$ per un polinomio solo in $y$.
E' giusto questo ragionamento?
Inoltre come faccio a trovare un ideale $I$ di $K[x,y]$ tale che $(K[x,y])/I$ sia un campo?
Dovrei trovare un ideale massimale...ma $K[x,y]$ non è un dominio a ideali principali quindi non posso usare la proposizione "$I=(f)$ massimale se e solo se $f$ è irriducibile"
Risposte
"blonde angy":
Vi posso chiedere come si fa a dimostrare che $K[x,y]$ non è isomorfo a $K[x] x K[y]$?
Come hai fatto tu è sbagliato in toto, non hai dimostrato che i due oggetti non possono essere isomorfi!
Prova a chiederti: quali proprietà ha il primo che il secondo non ha? Ad esempio, il primo è un dominio di integrità (qui spero sarai d'accordo). Il secondo ha divisori dello zero oppure no?
P.S. Guarda che in [tex]K[X] \times K[Y][/tex] gli elementi hanno la forma [tex](p(X), q(Y))[/tex], cioè sono coppie di polinomi!
Infatti, ad esempio, se prendo due elementi di $K[x] x K[y]$ : $(x+2,0) * (0,y+2)= (0,0)$. Quindi esistono 0-divisori e $K[x] x K[y]$ non è un dominio!
Grazie mille
Grazie mille
Figurati! 
Intanto che ci sono, se non ti disturbo troppo, ti chiedo anche come si possa determinare:
1) un ideale I di $K[x,y]$ tale che $(K[x,y])/I$ sia un campo
2) un ideale I di $K[x,y]$ tale che $(K[x,y])/I$ sia un dominio ma non un campo
3) un ideale I di $K[x] x K[y]$ tale che $(K[x] x K[y])/I$ sia un campo
Scusa, ma faccio un po' fatica con questi anelli di polinomi in x e y
1) un ideale I di $K[x,y]$ tale che $(K[x,y])/I$ sia un campo
2) un ideale I di $K[x,y]$ tale che $(K[x,y])/I$ sia un dominio ma non un campo
3) un ideale I di $K[x] x K[y]$ tale che $(K[x] x K[y])/I$ sia un campo
Scusa, ma faccio un po' fatica con questi anelli di polinomi in x e y
1) Devi trovare un ideale massimale. Da un punto di vista geometrico è più facile: i punti sono gli ideali massimali. E, di conseguenza, gli ideali [tex](x-a,y-b)[/tex] sono tutti massimali (non preoccuparti se non capisci cosa ho detto prima: limitati a dimostrare che la seconda affermazione è corretta).
2) Ad esempio [tex](x)[/tex], perché (dimostra!) [tex]K[x,y]/(x) \simeq K[y][/tex];
3) Di nuovo, hai bisogno di un ideale massimale. Hai provato con [tex](x) \times K[y][/tex]?
2) Ad esempio [tex](x)[/tex], perché (dimostra!) [tex]K[x,y]/(x) \simeq K[y][/tex];
3) Di nuovo, hai bisogno di un ideale massimale. Hai provato con [tex](x) \times K[y][/tex]?
Per quanto riguarda il punto 2) $(x)$ è massimale perché $x$ è irriducibile ($K[x]$ è un dominio a ideali principali perchè so che è un dominio euclideo) quindi se quoziento $K[x,y]$ con $(x)$ giustamente mi viene qualcosa isomorfo a $K[y]$, che è ovviamente un dominio ma non è un campo.
Però faccio fatica a dimostrare che gli ideali $(x-a,y-b)$ sono massimali...
Però faccio fatica a dimostrare che gli ideali $(x-a,y-b)$ sono massimali...
"blonde angy":
Per quanto riguarda il punto 2) $(x)$ è massimale perché $x$ è irriducibile
Falso. Intendevi primo, immagino.
"blonde angy":
Però faccio fatica a dimostrare che gli ideali $(x-a,y-b)$ sono massimali...
Se ti dico "primo teorema di isomorfismo", ti aiuto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo