Dubbio su insieme quoziente

[cor3]

Salve a tutti,
ho un piccolo dubbio su un esercizio.
Il quesito è questo:
Elencare gli elementi di \(S := \{a^2|a \in \mathbb{Z}_{12}\}\) e determinare \(|S|\).
Gli elementi \(a\) di \(\mathbb{Z}_{12}\) sono le classi di equivalenza modulo 12.
Il quadrato di ogni classe \(a = a \times a\) quindi sono le coppie di elementi di quella classe oppure ho scritto solo assurdità?
La cardinalità di \(S\) resta la stessa di \(\mathbb{Z}_{12}\)?

Grazie

[Maci86]

Nooo, il quadrato è quello che fai normalmente
Vediamolo in dettaglio:
$\bar0^2=\bar0$
$\bar1^2=\bar1$
$\bar2^2=\bar4$
$\bar3^2=\bar9$
$\bar4^2=\bar16=\bar4$
$\bar5^2=\bar25=\bar1$
$\bar6^2=\bar36=\bar0$
$\bar7^2=\bar49=\bar1$
$\bar8^2=\bar64=\bar4$
$\bar9^2=\bar81=\bar9$
$\bar10^2=\bar100=\bar4$
$\bar11^2=\bar121=\bar1$
Quindi abbiamo solo:
$S={0,1,4,9}=> |S|=4$

[cor3]

Ti ringrazio del chiarimento, inizialmente avevo seguito lo stesso ragionamento ma poi mi è sorto il dubbio.