Dubbio su esercizio sugli omomorfismi di gruppi
Sia G=< (2 4), (2 5)(3 6) >
Calcolare tutti gli omomorfismi $f:G->S_3$.
L'idea per risolvere l'esercizio è di determinare tutti i sottogruppi normali di G visto che il nucleo di f è un sottogruppo normale di G.
Elenco tutti i sottogruppi normali di G che ho trovato.
G, {id}, H = < (3 6) >, K = < (2 4 5), (2 4) >, (da notare che G=H x K = H K), L = < (2 4 5) >,
M = H x L = { id, (3 6), (2 4 5), (2 5 4), (2 4 5)(3 6), (2 5 4)(36) },
N = { id, (2 4 5), (2 5 4), (2 4)(3 6), (2 5)(3 6), (4 5)(3 6) }.
Notiamo che se KerF=G abbiamo ovviamente l'omomorfismo banale, mentre i casi in cui Kerf={id} oppure Ker f=L non si possono presentare perchè nel primo caso avremmo che f è ingettiva e quindi un f è un isomorfismo che è assurdo, mentre nel secondo caso abbiamo che per il teorema fondamentale di isomorfismo
f(G) è isomorfo a G/L e quindi ha ordine 12:3=4, ma poichè f(G) è un sottogruppo di $S_3$ per il teorema di Lagrange deve avere necessariamente come ordine un divisore dell'ordine di $S_3$, ma 4 non divide $|S_3|$=6, quindi è assurdo.
Qualcuno mi saprebbe spiegare come determinare gli omomorfismi nei casi in cui il nucleo di f sia rispettivamente H, K, M, N ?
Calcolare tutti gli omomorfismi $f:G->S_3$.
L'idea per risolvere l'esercizio è di determinare tutti i sottogruppi normali di G visto che il nucleo di f è un sottogruppo normale di G.
Elenco tutti i sottogruppi normali di G che ho trovato.
G, {id}, H = < (3 6) >, K = < (2 4 5), (2 4) >, (da notare che G=H x K = H K), L = < (2 4 5) >,
M = H x L = { id, (3 6), (2 4 5), (2 5 4), (2 4 5)(3 6), (2 5 4)(36) },
N = { id, (2 4 5), (2 5 4), (2 4)(3 6), (2 5)(3 6), (4 5)(3 6) }.
Notiamo che se KerF=G abbiamo ovviamente l'omomorfismo banale, mentre i casi in cui Kerf={id} oppure Ker f=L non si possono presentare perchè nel primo caso avremmo che f è ingettiva e quindi un f è un isomorfismo che è assurdo, mentre nel secondo caso abbiamo che per il teorema fondamentale di isomorfismo
f(G) è isomorfo a G/L e quindi ha ordine 12:3=4, ma poichè f(G) è un sottogruppo di $S_3$ per il teorema di Lagrange deve avere necessariamente come ordine un divisore dell'ordine di $S_3$, ma 4 non divide $|S_3|$=6, quindi è assurdo.
Qualcuno mi saprebbe spiegare come determinare gli omomorfismi nei casi in cui il nucleo di f sia rispettivamente H, K, M, N ?
Risposte
Che ordine ha $G$?
Comunque in generale devi ridurti a considerare il gruppo quoziente $G//N$ con $N$ nucleo (possibile) del tuo omomorfismo.
Inoltre se $f$ è ingettiva, non hai un isomorfismo, ma un monomorfismo. Per essere isomorfismo deve essere anche surgettiva!
Comunque in generale devi ridurti a considerare il gruppo quoziente $G//N$ con $N$ nucleo (possibile) del tuo omomorfismo.
Inoltre se $f$ è ingettiva, non hai un isomorfismo, ma un monomorfismo. Per essere isomorfismo deve essere anche surgettiva!
Allora G ha ordine 12 e i suoi elementi sono:
{ id, (2 4), (2 5), (4 5), (3 6), (2 4)(3 6), (2 5)(3 6), (4 5)(3 6), (2 4 5), (2 5 4), (2 4 5)(3 6), (2 5 4)(3 6)}
"P.S. quando hai una funzione tra due insiemi finiti per dimostrare che è bigettiva, basta che dimostri o che è surgettiva o che è ingettiva, questa è una nozione di precorso"
{ id, (2 4), (2 5), (4 5), (3 6), (2 4)(3 6), (2 5)(3 6), (4 5)(3 6), (2 4 5), (2 5 4), (2 4 5)(3 6), (2 5 4)(3 6)}
"P.S. quando hai una funzione tra due insiemi finiti per dimostrare che è bigettiva, basta che dimostri o che è surgettiva o che è ingettiva, questa è una nozione di precorso"
facendo un po' di conti mi sono usciti questi quozienti:
G/H= { H, (2 4)H, (2 5)H, (4 5)H, (2 4 5)H, (2 5 4)H }
G/K= { K, (3 6)K }
G/M= { M, (2 4)M }
G/N= { N, (2 4)N }
Una volta calcolati i quozienti cosa devo fare?
G/H= { H, (2 4)H, (2 5)H, (4 5)H, (2 4 5)H, (2 5 4)H }
G/K= { K, (3 6)K }
G/M= { M, (2 4)M }
G/N= { N, (2 4)N }
Una volta calcolati i quozienti cosa devo fare?
Tutti i quozienti (ammesso che i conti ed i sottogruppi siano giusti) hanno tutti ordine $p$. Quindi sono isomorfi a $ZZ_p$.
Assegnare un omomorfismo su $ZZ_p$ equivale ad assegnare l'immagine del suo generatore, quindi $[1]_p$, che avrà naturalmente ordine $p$.
Osserva ora che un omomorfismo ristretto al quoziente è iniettivo, quindi in particolare conserva i periodi. Quindi avrai in $ZZ_p$ tanti omomorfismi quanti sono gli elementi di ordine $p$ in $S_3$.
PS Questi mi sembrano i compiti di LaScala. Vero?
Assegnare un omomorfismo su $ZZ_p$ equivale ad assegnare l'immagine del suo generatore, quindi $[1]_p$, che avrà naturalmente ordine $p$.
Osserva ora che un omomorfismo ristretto al quoziente è iniettivo, quindi in particolare conserva i periodi. Quindi avrai in $ZZ_p$ tanti omomorfismi quanti sono gli elementi di ordine $p$ in $S_3$.
PS Questi mi sembrano i compiti di LaScala. Vero?
infatti non sbagli è proprio un esercizio di lascala
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