Dubbio su dominio d'integrità e anello commutativo
Ciao a tutti!!
Ho un dubbio che vorrei chiarire:
un dominio d'integrità è per forza un anello commutativo o può essere anche non commutativo?
Noi l'abbiamo definito partendo da un anello commutativo.
Ma si può avere anche l'altro caso?
Grazie!!
Ho un dubbio che vorrei chiarire:
un dominio d'integrità è per forza un anello commutativo o può essere anche non commutativo?
Noi l'abbiamo definito partendo da un anello commutativo.
Ma si può avere anche l'altro caso?
Grazie!!
Risposte
[xdom="Martino"]Sei pregato di mettere il titolo in minuscolo, come da regolamento. Per farlo clicca su "Modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/xdom]
Un dominio di integrità è per definizione un anello commutativo unitario integro.
Tuttavia puoi avere anelli integri che non siano domini.
Prendi ad esempio l'anello dei pari, con somma e prodotto usuali. (non unitario)
Oppure l'insieme delle matrici a coefficienti reali di ordine $n$ (non commutativo, in generale)
Tuttavia puoi avere anelli integri che non siano domini.
Prendi ad esempio l'anello dei pari, con somma e prodotto usuali. (non unitario)
Oppure l'insieme delle matrici a coefficienti reali di ordine $n$ (non commutativo, in generale)
Sembra di no... [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Dominio_d'integrit%C3%A0]click[/url]
Edit: scusa kashaman ho postato senza aver visto il tuo post.
Edit: scusa kashaman ho postato senza aver visto il tuo post.
Scusami Kashaman, ma 'integro' starebbe per non avente zero-divisori oltre allo 0?
E comunque sto proprio analizzando l'anello delle matrici quadrate di ordine n.
E' un anello non commutativo: quindi automaticamente non è un dominio d'integrità?
Cioè: c'è qualche collegamento tra il fatto che non è commutativo ed il fatto
che ha zero-divisori diversi dallo 0 ? (per me non sono legati le due cose, è solo un fatto di definizione. Ma magari sbaglio.)
Spero di essermi spiegato.
Grazie mille
!!!
E comunque sto proprio analizzando l'anello delle matrici quadrate di ordine n.
E' un anello non commutativo: quindi automaticamente non è un dominio d'integrità?
Cioè: c'è qualche collegamento tra il fatto che non è commutativo ed il fatto
che ha zero-divisori diversi dallo 0 ? (per me non sono legati le due cose, è solo un fatto di definizione. Ma magari sbaglio.)
Spero di essermi spiegato.
Grazie mille
!!!
integro sta per intendere che non ha zero divisori, sì.
Si esatto, $M_n(A)$ , in generale non è un dominio di integrità. Per l'integrità, quella dipende da $A$. (Pensa ad esempio $M_n(ZZ_4)$ , puoi trovare due matrici non nulle il cui prodotto sia la matrice nulla).
In breve , per dire che un anello è un dominio di integrità bisogna :
1) che sia commutativo. 2) che sia integro. 3) che il prodotto possegga unità. Se una delle tre non è soddisfatta, allora non puoi parlare di dominio.
L'esempio fondamentale di dominio d'integrità che devi tener presente è $ZZ$.
Si esatto, $M_n(A)$ , in generale non è un dominio di integrità. Per l'integrità, quella dipende da $A$. (Pensa ad esempio $M_n(ZZ_4)$ , puoi trovare due matrici non nulle il cui prodotto sia la matrice nulla).
In breve , per dire che un anello è un dominio di integrità bisogna :
1) che sia commutativo. 2) che sia integro. 3) che il prodotto possegga unità. Se una delle tre non è soddisfatta, allora non puoi parlare di dominio.
L'esempio fondamentale di dominio d'integrità che devi tener presente è $ZZ$.
No, l'integrità e la commutatività non sono collegate, prendi ad esempio l'anello dei Quaternioni. E' integro ma non commutativo.
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