Dubbio su divisibilità

[balestrav]

Stavo provando a verificare una decomposizione primaria e mi è sorto un dubbio:siano
[tex]f,g \in K[x,y,z][/tex], è vero che
[tex]f(x,y,z)(y-1)=g(x,y,z)(y+1) \Rightarrow (y-1)|f[/tex]?
Dovrebbe esserlo visto che [tex]MCD(y-1y+1)=1[/tex].

Comunque scrivo la decomposizione che stavo provando nel caso qualcuno si accorgesse
che è sbagliata!
[tex](x,z,x^2+y^2-1)=(x,z,y-1)\cap(x,z,y+1)[/tex]

[dissonance]

Perché \((y-1) | f\)...? Semmai \((y+1)|f\), no? Quest'ultima affermazione mi pare vera, visto che nella fattorizzazione in irriducibili di \(f\) deve comparire per forza \((y+1)\) che non divide \((y-1)\).

[balestrav]

Si, avevo sbagliato a scrivere...! Comunque cercando di verificare la decomposizione, volevo provare che se [tex]f \in (x,z,y-1)\cap (x,z,y+1)[/tex] allora appartiene all'ideale. Allora [tex]f=f_1x+f_2z+f_3(y-1)=g_1x+g_2z+g_3(y+1)[/tex]. Posso dire che allora [tex]f_3[/tex] contiene il fattore (y+1)?

[maurer]

Sì, perché puoi assumere wlog che [tex]f_3 \in K[y][/tex] e quindi applicare il principio di identità dei polinomi o, più elegantemente, passare modulo [tex](x,z,y+1)[/tex].