Dubbio su classi di una relazione di equivalenza...
Ciao a tutti e buona mattinata.
Ho un dubbio riguardo la seguente relazione di equivalenza:
[tex]R := \{(a,b) \mid aRb \Leftrightarrow 2 \mid a+b\}= \{(a,b) \mid aRb \Leftrightarrow a+b=2q,q \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Z}x\mathbb{Z}[/tex]
Un esercizio mi chiede di trovare le classi di equivalenza originate dalla stessa ed io ho ipotizzato siano le classi di resto [tex]{[0]}_{R}[/tex] e [tex]{[1]}_{R}[/tex].
Pur non riferendosi alla relazione di congruenza è corretto chiamarle classi di resto?
In quanto a teoria so che una classe di equivalenza per una relazione [tex]R[/tex] su [tex]\mathbb{A}[/tex] insieme è definita come [tex]{[a]}_{R}=\{a \in \mathbb{A} \mid aRx\}[/tex] quindi le classi di equivalenza della relazione da me esposta sopra dovrebbero essere uguali a [tex]{[a]}_{R}=\{a \in \mathbb{A} \mid a=2k-b, k \in \mathbb{Z} \}[/tex] e dovendo pertanto essere [tex]b[/tex], resto delle divisioni euclidee, maggiore di 0 la classe di equivalenza in oggetto dovrebbe essere definita come [tex]{[a]}_{R}=\{q \in \mathbb{Z} \mid 2q+b\}[/tex] con [tex]q=-k[/tex].
Insomma mi sento un po' tratto in inganno dal fatto che ho studiato prima le relazioni di equivalenza, poi la relazione di congruenza ed ora facendo gli esercizi sulle relazioni di equivalenza non sono sicuro di come vengono originate le classi di equivalenza quali quelle di questa relazione.
Grazie in anticipo.
Ho un dubbio riguardo la seguente relazione di equivalenza:
[tex]R := \{(a,b) \mid aRb \Leftrightarrow 2 \mid a+b\}= \{(a,b) \mid aRb \Leftrightarrow a+b=2q,q \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Z}x\mathbb{Z}[/tex]
Un esercizio mi chiede di trovare le classi di equivalenza originate dalla stessa ed io ho ipotizzato siano le classi di resto [tex]{[0]}_{R}[/tex] e [tex]{[1]}_{R}[/tex].
Pur non riferendosi alla relazione di congruenza è corretto chiamarle classi di resto?
In quanto a teoria so che una classe di equivalenza per una relazione [tex]R[/tex] su [tex]\mathbb{A}[/tex] insieme è definita come [tex]{[a]}_{R}=\{a \in \mathbb{A} \mid aRx\}[/tex] quindi le classi di equivalenza della relazione da me esposta sopra dovrebbero essere uguali a [tex]{[a]}_{R}=\{a \in \mathbb{A} \mid a=2k-b, k \in \mathbb{Z} \}[/tex] e dovendo pertanto essere [tex]b[/tex], resto delle divisioni euclidee, maggiore di 0 la classe di equivalenza in oggetto dovrebbe essere definita come [tex]{[a]}_{R}=\{q \in \mathbb{Z} \mid 2q+b\}[/tex] con [tex]q=-k[/tex].
Insomma mi sento un po' tratto in inganno dal fatto che ho studiato prima le relazioni di equivalenza, poi la relazione di congruenza ed ora facendo gli esercizi sulle relazioni di equivalenza non sono sicuro di come vengono originate le classi di equivalenza quali quelle di questa relazione.
Grazie in anticipo.
Risposte
devi solo fare il quoziente \((\mathbb Z\times\mathbb Z)/_{\!\!R}\)
La definizione di classe di equivalenza che hai dato mi sembra corretta.
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