Dubbio su anelli di polinomi a coefficienti in un campo

[blonde angy]

Ciao!
Ho un dubbio, sicuramente è molto stupido, ma ho paura di non avere le idee troppo chiare.

$A[x]$ è un dominio $hArr A$ è dominio, questa proposizione so che è giusta.
Mentre ho un dubbio sulla seguente: se $K$ è un campo allora posso solo dire che $K[x]$ è un dominio, giusto? Non è vero che $K[x]$ è un campo! Dico bene? Perché ad esempio $QQ$ è un campo mentre $QQ[x]$ no, visto che ad esempio $x$ non ha inverso in $QQ[x]$.

Ora, sulla base di questo, se devo dimostrare che $Z[x]$ non è isomorfo a $QQ[x]$ è sufficiente dire che $QQ[x]$ è un dominio euclideo mentre $Z[x]$ no?

[Paolo902]

Ciao!

"blonde angy":Mentre ho un dubbio sulla seguente: se $K$ è un campo allora posso solo dire che $K[x]$ è un dominio, giusto? Non è vero che $K[x]$ è un campo! Dico bene? Perché ad esempio $QQ$ è un campo mentre $QQ[x]$ no, visto che ad esempio $x$ non ha inverso in $QQ[x]$.

Perfetto. Riesci a dirmi quali sono gli unici elementi invertibili in [tex]$\mathbb{K}[X]$[/tex]?

"blonde angy": Ora, sulla base di questo, se devo dimostrare che $Z[x]$ non è isomorfo a $QQ[x]$ è sufficiente dire che $QQ[x]$ è un dominio euclideo mentre $Z[x]$ no?

Certo, è corretto. Nota inoltre che [tex]\mathbb{Z}[X][/tex] non è un anello ad ideali principali, mentre [tex]\mathbb{Q}[X][/tex] è un PID.

[blonde angy]

In $K[x]$ gli unici elementi invertibili dovrebbero essere tutti i polinomi di grado 0, cioè le costanti. Sono tutte invertibili perché sono elementi di un campo!

[Paolo902]

Ok, bene.

[blonde angy]

Ti ringrazio molto!