Dubbio polinomio in Z5

[gennarosdc]

Esiste un polinomio di grado 5 che non ammetta radici in $Z_5[x]$?
Non riesco a trovarlo..(so che i polinomi in $R[x]$ se hanno grado dispari ammettono sicuramente una radice)
Grazie in anticipo

[dan952]

$p(x)=x^5+x^2+4x+3$

[gennarosdc]

"dan95":Ti sei risposto da solo...Sai dimostrare l'affermazione che hai fatto?

No..conosco solo la proposizione che si applica in $R[x]$ .Per questo ti chiedo come possa applicarsi anche in $Z_5[x]$ ?

[Half95]

certo basta ad esempio:
$p(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$
oppure un polinomio di Artin..

[gennarosdc]

"Half95":certo basta ad esempio:
$p(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$
oppure un polinomio di Artin..

Ok perfetto grazie Half95
Ti posso chiedere come l'hai formulato?

Quindi la proposizione che ho citato all'inizio rimane vera solo per $R[x]$

[dan952]

L'ha costruito in modo che $p(0),p(1), p(2), p(3), p(4)$ fossero tutti congrui $1\ mod 5$, e quindi il polinomio fosse irriducibile in $ZZ_5[x]$, idea semplice e carina.

Si quella proposizione è vera solo per $RR[x]$ scusa credevo che con $R$ intendessi un campo...ecco perché ti ho chiesto se lo sapevi dimostrare

[Half95]

la proposizione è vera solo per $R[x]$. è semplice trovarle infatti le radici sono in numero finito basta escludere quelle

[gennarosdc]

"dan95":L'ha costruito in modo che $p(0),p(1), p(2), p(3), p(4)$ fossero tutti congrui $1\ mod 5$, e quindi il polinomio fosse irriducibile in $ZZ_5[x]$, idea semplice e carina.

Si quella preposizione è vera solo per $RR[x]$ scusa credevo che con $R$ intendessi un campo...ecco perché ti ho chiesto se lo sapevi dimostrare

ok figurati grazie mille ad entrambi

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Half95":$p(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$

Questo è lo stesso argomento che si usa per dimostrare che i campi algebricamente chiusi hanno cardinalità infinita