Dubbio polinomi
Altro dubbio con un'altra proposizione riguardante i polinomi a più variabili.
La proposizione è la seguente “$F(x_1,....,x_r)$ un polinomio, e sappiamo che questo è prodotto di un polinomio per il suo coniugato. Le radici reali sono da ricercarsi nelle radici comuni dei due polinomi che lo scompongono”.
Io ho pensato che se ho una radice reale questa annulla entrambi i polinomi che dividono il polinomio $F$, ma allora è radice reale di entrambi i polinomi.
In realtà io non ho capito quali siano le ipotesi e quale sia la tesi!
Mi aiutate?
Come sempre grazie!
La proposizione è la seguente “$F(x_1,....,x_r)$ un polinomio, e sappiamo che questo è prodotto di un polinomio per il suo coniugato. Le radici reali sono da ricercarsi nelle radici comuni dei due polinomi che lo scompongono”.
Io ho pensato che se ho una radice reale questa annulla entrambi i polinomi che dividono il polinomio $F$, ma allora è radice reale di entrambi i polinomi.
In realtà io non ho capito quali siano le ipotesi e quale sia la tesi!
Mi aiutate?
Come sempre grazie!
Risposte
Credo vada intesa cosi' (e c'entra poco che sian piu' variabili...):
Ipotesi: $P\in\mathbb C[x_1,...,x_n]$, \(F:=P\cdot\overline{P}\) (il prodotto di $P$ per il suo coniugato), \(\underline{a}=(a_1,\dots,a_n)\in {\mathbb R}^n\) tale che \(F(\underline{a})=0\);
Tesi: \(p(a)=0\) e \(\overline{p}(a)=0\).
Esempio: in una variabile, gli zeri reali di \((x+i)(x-i)=x^2+1\) dovranno comparire fra gli zeri comuni ai due polinomi $x+i$ (solo $-i$) e $x-i$ (solo $i$); giacche' questi due polinomi non hanno zeri comuni il loro prodotto non ha zeri reali. Nota pero' che ha zeri complessi: $i$ e $-i$.
Si', hai pensato bene...ma ti e' chiaro che qst funziona per $F=P\cdot\overline{P}$ (e perche'?) e non per un prodotto qualunque $F=P\cdot Q$?
Ciao
Ipotesi: $P\in\mathbb C[x_1,...,x_n]$, \(F:=P\cdot\overline{P}\) (il prodotto di $P$ per il suo coniugato), \(\underline{a}=(a_1,\dots,a_n)\in {\mathbb R}^n\) tale che \(F(\underline{a})=0\);
Tesi: \(p(a)=0\) e \(\overline{p}(a)=0\).
Esempio: in una variabile, gli zeri reali di \((x+i)(x-i)=x^2+1\) dovranno comparire fra gli zeri comuni ai due polinomi $x+i$ (solo $-i$) e $x-i$ (solo $i$); giacche' questi due polinomi non hanno zeri comuni il loro prodotto non ha zeri reali. Nota pero' che ha zeri complessi: $i$ e $-i$.
"Mrhaha":
Io ho pensato che se ho una radice reale questa annulla entrambi i polinomi che dividono il polinomio $F$, ma allora è radice reale di entrambi i polinomi.
Si', hai pensato bene...ma ti e' chiaro che qst funziona per $F=P\cdot\overline{P}$ (e perche'?) e non per un prodotto qualunque $F=P\cdot Q$?
Ciao
"alessio76":
...
Si', hai pensato bene...ma ti e' chiaro che qst funziona per $F=P\cdot\overline{P}$ (e perche'?) e non per un prodotto qualunque $F=P\cdot Q$?
Ciao
Questa dovrebbe funzionare proprio per le proprietà dei numeri complessi! E' esatto?
Si' , ma esattamente come lo dimostri? Sai scrivere la dimostrazione per polinomi in una sola variabile? Come si usano le ipotesi? Quali altri proprieta' occorrono? Come si estende a piu' variabili?
Non potrebbe,per riuscere a scrivere la dimostrazione, tornati utile questo:
generico-polinomio-in-r-variabili-t84779.html#p577742
?
, ma esattamente come lo dimostri? Sai scrivere la dimostrazione per polinomi in una sola variabile? Come si usano le ipotesi? Quali altri proprieta' occorrono? Come si estende a piu' variabili?Non potrebbe,per riuscere a scrivere la dimostrazione, tornati utile questo:
generico-polinomio-in-r-variabili-t84779.html#p577742
?
La prof ha dimostrato oggi l'implicazione per una sola variabile! Quindi evito d scrivere e farti perdere tempo! 
Ma il mio dubbio resta sempre il passaggio a più variabili. Non riesco ad entrare nell'ottica!
Ma il mio dubbio resta sempre il passaggio a più variabili. Non riesco ad entrare nell'ottica!
Beh se la Prof. l'ha dimostrato oggi in una variabile forse tu stavi correndo un po' troppo 
Lavora ancora su qualche esempio magari.
Lavora ancora su qualche esempio magari.
Capito! Grazie!
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