Dubbio implicazioni logiche
Salve a tutti. Mi sto impelagando sulla lettura di alcuni appunti in cui le implicazioni vengono chiamate come "se" e "solo se". Il problema è che non capisco quale verso dell'implicazione indichino perché, a parer mio, almeno nei due esempi che sto per portarvi, vengono usate in modi differenti.
Gli esempi sono i seguenti:
1) In un anello commutativo unitario $A$, $\forall a \in A$, e per ogni elemento invertibile $u \in A$, $a$ e $au$ sono associati. In un dominio di integrità vale il viceversa.
Segue la proposizione:
Sia $A$ un dominio di integrità, siano $a,b \in A$. Allora $a$ e $b$ sono associati se e solo se esiste un elemento invertibile $u \in A$ tale che $b=au$.
Dimostrazione: Alla luce della prima affermazione, basta dimostrare il "solo se". Siano dunque $a$ e $b$ associati. Allora esistono $q,q'\in A$ tali che $a=bq, b=aq'$ da cui $b=(bq)q'=b(qq')$. Se $b=0$ allora $a=0$ e la tesi è verificata per $u=1$. Altrimenti $b$ è un elemento regolare (non divisore dello zero) e quindi cancellabile. Allora essendo $b1=b(qq')$ segue che $1=qq'$. Ciò dimostra che $q'$ è invertibile.
Da ciò io deduco che il "solo se" è l'implicazione da sinistra a destra $rArr$
2)Due numeri interi si dicono coprimi se gli unici loro divisori comuni sono $1$ e $-1$.
Segue il corollario:
Siano $a,b\in ZZ$ non entrambi nulli. Allora $a$ e $b$ sono coprimi se e solo se $MCD(a,b)=1$.
Dimostrazione: Il "solo se" è banale conseguenza della definizione. Per il "se" basta osservare che, se $1$ è un massimo comune divisore di due interi, allora ogni divisore comune di questi interi divide $1$, ed è quindi uguale ad 1 o -1.
Da ciò io deduco che il "solo se" è l'implicazione da destra a sinistra $lArr $
E' un errore o sto sbagliando ad interpretare le affermazioni?
C'è anche un terzo esempio che vi porto perché magari può essere stato effettivamente un errore della professoressa (anche se dubito)
3) Sia $A$ commutativo, unitario, integro e non nullo (dominio di integrità, quindi). Un elemento di $A[X]$ (l'insieme dei polinomi nell'indeterminata X a coefficienti nell'anello $A$) è invertibile se e solo se è costante e invertibile in $A$.
Dopo dice: Il "se" del corollario è valido per ogni anello commutativo $A$. Il "solo se" invece, in generale non vale se $A$ non è integro. Lo dimostra con un controesempio, scegliendo $A=ZZ_4$ e un polinomio non costante però invertibile che ha come inverso se stesso.
Vi ringrazio per il vostro tempo
Gli esempi sono i seguenti:
1) In un anello commutativo unitario $A$, $\forall a \in A$, e per ogni elemento invertibile $u \in A$, $a$ e $au$ sono associati. In un dominio di integrità vale il viceversa.
Segue la proposizione:
Sia $A$ un dominio di integrità, siano $a,b \in A$. Allora $a$ e $b$ sono associati se e solo se esiste un elemento invertibile $u \in A$ tale che $b=au$.
Dimostrazione: Alla luce della prima affermazione, basta dimostrare il "solo se". Siano dunque $a$ e $b$ associati. Allora esistono $q,q'\in A$ tali che $a=bq, b=aq'$ da cui $b=(bq)q'=b(qq')$. Se $b=0$ allora $a=0$ e la tesi è verificata per $u=1$. Altrimenti $b$ è un elemento regolare (non divisore dello zero) e quindi cancellabile. Allora essendo $b1=b(qq')$ segue che $1=qq'$. Ciò dimostra che $q'$ è invertibile.
Da ciò io deduco che il "solo se" è l'implicazione da sinistra a destra $rArr$
2)Due numeri interi si dicono coprimi se gli unici loro divisori comuni sono $1$ e $-1$.
Segue il corollario:
Siano $a,b\in ZZ$ non entrambi nulli. Allora $a$ e $b$ sono coprimi se e solo se $MCD(a,b)=1$.
Dimostrazione: Il "solo se" è banale conseguenza della definizione. Per il "se" basta osservare che, se $1$ è un massimo comune divisore di due interi, allora ogni divisore comune di questi interi divide $1$, ed è quindi uguale ad 1 o -1.
Da ciò io deduco che il "solo se" è l'implicazione da destra a sinistra $lArr $
E' un errore o sto sbagliando ad interpretare le affermazioni?
C'è anche un terzo esempio che vi porto perché magari può essere stato effettivamente un errore della professoressa (anche se dubito)
3) Sia $A$ commutativo, unitario, integro e non nullo (dominio di integrità, quindi). Un elemento di $A[X]$ (l'insieme dei polinomi nell'indeterminata X a coefficienti nell'anello $A$) è invertibile se e solo se è costante e invertibile in $A$.
Dopo dice: Il "se" del corollario è valido per ogni anello commutativo $A$. Il "solo se" invece, in generale non vale se $A$ non è integro. Lo dimostra con un controesempio, scegliendo $A=ZZ_4$ e un polinomio non costante però invertibile che ha come inverso se stesso.
Vi ringrazio per il vostro tempo
Risposte
Ma, sostanzialmente, cosa ti cambia? Son sempre due implicazioni da dimostrare ...
Praticamente nulla, però vorrei capire che cosa intende. Non vorrei ritrovarmi all'esame dovendo magari dimostrare una sola implicazione di qualche lemma o altro, sulla base di "se" e "solo se".
La struttura della doppia implicazione è
"A se e solo se B"
Il "se" corrisponde a [tex]A \Leftarrow B[/tex], cioè "A se B" è equivalente a "se B allora A".
Il "solo se" corrisponde a $A => B$, cioè "A solo se B" è equivalente a "se A allora B".
Per esempio
"se piove prendo l'ombrello"
è equivalente a
"piove solo se prendo l'ombrello".
"A se e solo se B"
Il "se" corrisponde a [tex]A \Leftarrow B[/tex], cioè "A se B" è equivalente a "se B allora A".
Il "solo se" corrisponde a $A => B$, cioè "A solo se B" è equivalente a "se A allora B".
Per esempio
"se piove prendo l'ombrello"
è equivalente a
"piove solo se prendo l'ombrello".
Ti ringrazio!
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