Dubbio essenziale sulle operazioni nei gruppi

[fransis2]

se si deve fare l'operazione $abc$ bisogna fare prima l'operazione $a$, poi l'operazione $b$ e poi l'operazione $c$ (da sinistra verso destra) oppure il contrario: prima l'operazione $c$, poi l'operazione $b$ e infine l'operazione $a$ (da destra verso sinistra)?
grazie

[Studente Anonimo]

Che intendi? In un gruppo c'è una sola operazione.

Puoi fare un esempio?

[TomSawyer1]

Mi sa che intende come si puo' associare.. Essendo un gruppo vale $(ab)c=a(bc)$.

[gugo82]

Quando si scrive $a*b*c$, senza indicare la priorità delle operazioni con le parentesi, vuol dire che che l'operazione $*$ è associativa: ciò comporta che l'ordine con il quale svolgi le operazioni è del tutto indifferente. Visto che in un gruppo l'operazione è per definizione associativa, è chiaro che $a*b*c$ ha significato non ambiguo.

Quando, invece, trovi scritto $(a*b)*c$ o $a*(b*c)$ vuol dire che devi svolgere prima l'operazione in parentesi e poi l'altra.

Per quanto riguarda l'ordine dei fattori, penso che il tuo problema derivi dalle strutture algebriche tipo $A^A$ ($A$ insieme non vuoto) con l'operazione di composizione $\circ$; infatti in tale struttura si devono fare le composizioni da destra a sinistra e non al contrario. In generale ciò dipende dall'operazione definita sulla struttura che stai analizzando, non si può generalizzare oltre.

Buono studio.

[vict85]

"fransis2":se si deve fare l'operazione $abc$ bisogna fare prima l'operazione $a$, poi l'operazione $b$ e poi l'operazione $c$ (da sinistra verso destra) oppure il contrario: prima l'operazione $c$, poi l'operazione $b$ e infine l'operazione $a$ (da destra verso sinistra)?
grazie

Ma intendi l'associatività?
Per il resto la composizione di funzione si fa generalmente da destra a sinistra, le altre spesso da sinistra a destra.

[fransis2]

no intendevo l'ordine delle operazioni. Faccio un esempio. In $S_5$ fare $(12)(23)(34)$ significa che f(1)=4, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3, f(5)=5 (da sinistra verso destra: si applica prima la $(12)$, poi la$(23)$, poi la $(34)$) oppure che f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=1, f(5)=5( da destra verso sinistra: si applica prima la $(34)$, poi la $(23)$, poi la $(12)$)?

[Studente Anonimo]

In $S_n$ l'operazione è definita così: se $f,g \in S_n$ allora $fg$ è quell'elemento di $S_n$ tale che $fg (x) = f(g(x))$ per ogni $x \in \{1,...,n\}$. Ne segue che devi procedere da destra verso sinistra.

Ma questo problema non è intrinseco alla definizione di gruppo: non c'entra con l'ordine con cui applicare le operazioni (quali operazioni?), piuttosto è legato alla definizione dell'operazione nel gruppo.

[fransis2]

e se invece le operazioni sono matirci? si fa da destra verso sinistra oppure da sinistra verso destra? (se potete fatemi un esempio di prodotto $ABC$ di 3 matrici con dei numeri).
questo lo chiedo solo per sicurezza. Se ho che G è il prodotto diretto di k gruppi abeliani, allora G ovviamente è abeliano, vero? Per esempio: $G=(Z/(91Z))STAR$ è isomorfo a $G'=(Z/(13Z))STARX(Z/(7Z))STAR$ che è isomorfo a $G''=(Z/(12Z))X(Z/(6Z))$ che è isomorfo a $G'''=(Z/(3Z))X(Z/(4Z))X(Z/(3Z))X(Z/(2Z))$. A questo punto si puo dire che $G'''=((Z/(2Z))X(Z/(4Z)))X((Z/(3Z))X(Z/(3Z)))$?
(con $(Z/(nZ))$ voglio indicare il gruppo quoziente di $Z$ rispetto al sottogruppo $nZ$ e con $STAR$ quelli invertibili rispetto alla moltiplicazione)

[vict85]

"fransis2":e se invece le operazioni sono matirci? si fa da destra verso sinistra oppure da sinistra verso destra? (se potete fatemi un esempio di prodotto $ABC$ di 3 matrici con dei numeri).
questo lo chiedo solo per sicurezza. Se ho che G è il prodotto diretto di k gruppi abeliani, allora G ovviamente è abeliano, vero? Per esempio: $G=(Z/(91Z))STAR$ è isomorfo a $G'=(Z/(13Z))STARX(Z/(7Z))STAR$ che è isomorfo a $G''=(Z/(12Z))X(Z/(6Z))$ che è isomorfo a $G'''=(Z/(3Z))X(Z/(4Z))X(Z/(3Z))X(Z/(2Z))$. A questo punto si puo dire che $G'''=((Z/(2Z))X(Z/(4Z)))X((Z/(3Z))X(Z/(3Z)))$?
(con $(Z/(nZ))$ voglio indicare il gruppo quoziente di $Z$ rispetto al sottogruppo $nZ$ e con $STAR$ quelli invertibili rispetto alla moltiplicazione)

Il prodotto diretto mantiene le stesse caratteristiche dei gruppi che contiene.