Dubbio centralizzante

[dark121it]

Salve a tutti,

ho un problema con il seguente esercizio:

Ex. Sia $G$ un gruppo, $N$ un sottogruppo normale di $G$, $x\inN$. Provare che $C(x)\subsetN$ dove $C(x)$ è il centralizzante di $x$; ovvero $C(x)={y\inG | yx=xy}$

Tentativo di svolgimento:
sia $y\inC(x)$. Allora $y=xyx^-1$. Il fatto che $N$ è normale mi dice che per ogni $p\inG$ risulta $pNp^-1\subsetN$...e ora non so come procedere!

PS: a dire il vero, il fatto precedente non è proprio un esercizio; è un estratto dal teorema a pag 114 riga 11 di ‘Basic Abstract Algebra’ di P.B. Bhattacharya, S.K. Jain e S.R. Nagpaul

Grazie a tutti!

[vict85]

Non riesci a dimostrarlo perché è falso. Se io per esempio considero un gruppo abeliano e un suo sottogruppo. Quest'ultimo è certamente normale e contenuto nel centralizzante di ogni suo elemento. In generale non è ne contenuto ne lo contiene.

Perciò il problema del tuo tentativo di dimostrazione è che il libro deve avere imposto condizioni su \(\displaystyle N \) o su \(\displaystyle G \) tali da rendere vera questa frase. Oppure \(\displaystyle C(x) \) o \(\displaystyle N \) non sono quello che pensi tu.

Prova a rileggere la parte prima. Eventualmente cerca il tuo teorema in questo sito.

[dark121it]

Ti ringrazio molto! Mi era venuto il sospetto...comunque farò come mi suggerisci.