Dubbi sui campi
Inizialmente avevo postato in un'altra sezione, ma forse questa è la più opportuna. Mi si scusi per la replica.
Nella prima lezione di un corso di algebra, non sono riuscito a capire un paio di passaggi fatti dal mio professore:
1- Per definire la caratteristica di un campo $K$, si introduce la funzione $phi : ZZ to K$ definita come $phi(n) = 1 + 1 + 1 +...+1$($n$ volte). Allora il professore dice che se $phi$ è iniettiva, la caratteristica di $K$ è $0$; se $phi$ è non iniettiva, allora il nucleo di $phi$ è non banale e la caratteristica è pari al più piccolo intero positivo che stia nel nucleo di $phi$.
Il fatto che $phi$ non iniettiva implichi che il nucleo di $phi$ sia non banale, se non ricordo male, è legato a una caratterizzazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Ma qui abbiamo costruito una funzione $phi$ tra un gruppo e un campo, non tra spazi vettoriali. Inoltre, non trattandosi di spazi vettoriali, è anche difficile parlare di linearità. Come si spiega la faccenda?
2- In una dimostrazione, il professore dice che se $p$ è la caratteristica di un campo finito $K$, allora $phi : ZZ_p to K$ è iniettiva ed è un'immersione, da ciò segue che possiamo vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$. Qui mi sono perso, non ho affatto capito perché si sia messo in risalto che $phi$ sia un'immersione, né come questa osservazione si leghi alla possibilità di vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$.
Nella prima lezione di un corso di algebra, non sono riuscito a capire un paio di passaggi fatti dal mio professore:
1- Per definire la caratteristica di un campo $K$, si introduce la funzione $phi : ZZ to K$ definita come $phi(n) = 1 + 1 + 1 +...+1$($n$ volte). Allora il professore dice che se $phi$ è iniettiva, la caratteristica di $K$ è $0$; se $phi$ è non iniettiva, allora il nucleo di $phi$ è non banale e la caratteristica è pari al più piccolo intero positivo che stia nel nucleo di $phi$.
Il fatto che $phi$ non iniettiva implichi che il nucleo di $phi$ sia non banale, se non ricordo male, è legato a una caratterizzazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Ma qui abbiamo costruito una funzione $phi$ tra un gruppo e un campo, non tra spazi vettoriali. Inoltre, non trattandosi di spazi vettoriali, è anche difficile parlare di linearità. Come si spiega la faccenda?
2- In una dimostrazione, il professore dice che se $p$ è la caratteristica di un campo finito $K$, allora $phi : ZZ_p to K$ è iniettiva ed è un'immersione, da ciò segue che possiamo vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$. Qui mi sono perso, non ho affatto capito perché si sia messo in risalto che $phi$ sia un'immersione, né come questa osservazione si leghi alla possibilità di vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$.
Risposte
Ciao!
"Kroldar":$\phi$ è in particolare un omomorfismo di gruppi additivi. Il nucleo di $f$ è inteso come l'anti-immagine di $0$, cioè il suo nucleo in quanto omomorfismo di gruppi additivi.
Ma qui abbiamo costruito una funzione $phi$ tra un gruppo e un campo, non tra spazi vettoriali. Inoltre, non trattandosi di spazi vettoriali, è anche difficile parlare di linearità. Come si spiega la faccenda?
2- In una dimostrazione, il professore dice che se $p$ è la caratteristica di un campo finito $K$, allora $phi : ZZ_p to K$ è iniettiva ed è un'immersione, da ciò segue che possiamo vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$. Qui mi sono perso, non ho affatto capito perché si sia messo in risalto che $phi$ sia un'immersione, né come questa osservazione si leghi alla possibilità di vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$.Hai che $F=\phi(ZZ_p)$ è un sottocampo di $K$ isomorfo a $ZZ_p$. In generale quando $F$ e $K$ sono due campi con $F \subseteq K$ il campo $K$ ha la struttura di spazio vettoriale su $F$ data dalla moltiplicazione per scalare $a*k := ak$ (il prodotto in $K$) per ogni $a in F$, $k in K$.
Ti ringrazio per la risposta, ma necessiterei di qualche ragguaglio in più, essendo sostanzialmente un profano della materia.
Riguardo al punto 1, non ho capito che teorema usa. Io so che "un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è non banale". Tuttavia, mi pare di capire che non sia stato applicato questo risultato, poiché di spazi vettoriali non si è parlato. Allora, dopo aver osservato che $phi$ è non iniettiva, come conclude che il suo nucleo è non banale?
Per il punto 2, la cosa mi è già più chiara a seguito della tua spiegazione. Potresti dirmi quel risultato che hai menzionato da dove discende e magari un riferimento a una dimostrazione, così integro i miei appunti del corso?
Grazie in ogni caso.
Riguardo al punto 1, non ho capito che teorema usa. Io so che "un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è non banale". Tuttavia, mi pare di capire che non sia stato applicato questo risultato, poiché di spazi vettoriali non si è parlato. Allora, dopo aver osservato che $phi$ è non iniettiva, come conclude che il suo nucleo è non banale?
Per il punto 2, la cosa mi è già più chiara a seguito della tua spiegazione. Potresti dirmi quel risultato che hai menzionato da dove discende e magari un riferimento a una dimostrazione, così integro i miei appunti del corso?
Grazie in ogni caso.
"Kroldar":Devi usare il fatto che un omomorfismo di gruppi è iniettivo se e solo se il suo nucleo è banale.
Riguardo al punto 1, non ho capito che teorema usa. Io so che "un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è non banale". Tuttavia, mi pare di capire che non sia stato applicato questo risultato, poiché di spazi vettoriali non si è parlato. Allora, dopo aver osservato che $phi$ è non iniettiva, come conclude che il suo nucleo è non banale?
Per il punto 2, la cosa mi è già più chiara a seguito della tua spiegazione. Potresti dirmi quel risultato che hai menzionato da dove discende e magari un riferimento a una dimostrazione, così integro i miei appunti del corso?La dimostrazione è immediata. Bisogna verificare che il prodotto in $K$ definisce una moltiplicazione per scalare $F xx K \to K$ compatibile (si tratta di verificare gli assiomi di spazio vettoriale: è un facile esercizio).
Ok, ti ringrazio. Ora è tutto chiaro.
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