Dubbi su teoria Algebra
Ciao a tutti!!
Fra un po' di giorni ho l'orale e vorrei fugare ogni dubbio. Ci sono alcune domande che vorrei farvi, sperò non siano troppo sciocche:
1 - In un gruppo ciclico di ordine 8 perché esiste un elemento g, diverso dall'identità, tale che $g^6=u$?
2 - Tutti i sottogruppi di un gruppo G, abeliano, sono abeliani; il viceversa, cioè se ho tutti sottogruppi abeliani allora G è abeliano, non è sempre vero. Perché?
3 - Perché i vettori di una base sono linearmente indipendenti?
4 - Mi potreste fare un esempio in cui si vede che la matrice diagonale rispetto alla base di autovettori è simile alla matrice A rispetto a una base qualsiasi? In particolare vorrei vedere com'è fatta la matrice C.
Grazie.
Fra un po' di giorni ho l'orale e vorrei fugare ogni dubbio. Ci sono alcune domande che vorrei farvi, sperò non siano troppo sciocche:
1 - In un gruppo ciclico di ordine 8 perché esiste un elemento g, diverso dall'identità, tale che $g^6=u$?
2 - Tutti i sottogruppi di un gruppo G, abeliano, sono abeliani; il viceversa, cioè se ho tutti sottogruppi abeliani allora G è abeliano, non è sempre vero. Perché?
3 - Perché i vettori di una base sono linearmente indipendenti?
4 - Mi potreste fare un esempio in cui si vede che la matrice diagonale rispetto alla base di autovettori è simile alla matrice A rispetto a una base qualsiasi? In particolare vorrei vedere com'è fatta la matrice C.
Grazie.
Risposte
1- Se per u intendi l'unità non è vero.
2- Se tutti gli elementi di G commutano tra loro in particolare lo faranno quelli di un suo sottinsieme. Ovviamente il viceverso non è detto. Es. $S_3$ non è abeliano ma contiene dei sottogruppi abeliani (ciclici).
3- Per definizione
4- Sono simili perchè un teoremino ti dice che per cambiare base di una matrice devi coniugarla per la matrice di cambiamento di base (basta che pensi alla matrice come appl. lineare). Chi è C?
2- Se tutti gli elementi di G commutano tra loro in particolare lo faranno quelli di un suo sottinsieme. Ovviamente il viceverso non è detto. Es. $S_3$ non è abeliano ma contiene dei sottogruppi abeliani (ciclici).
3- Per definizione
4- Sono simili perchè un teoremino ti dice che per cambiare base di una matrice devi coniugarla per la matrice di cambiamento di base (basta che pensi alla matrice come appl. lineare). Chi è C?
La 4 l'ho capita, infatti la matrice C è la matrice del cambiamento di base che ha per colonne le componenti degli autovettori della base di autovettori rispetto alla base presa in considerazione nell'endomorfismo. La 2 ok. La 3 anche. Per la 1 invece non è chiaro, perché nell'esame che ho fatto c'era una domanda che diceva:
"Se $G$ è un gruppo di ordine 8 esiste $ginG$, $g!=u$ (u è l'unità) tale che $g^6=u$?"
La risposta che c'è sulle soluzioni è:
"Vero, l'ordine di g può essere 2,4,8; nel primo caso $g^6=(g^2)^3=u$ (e qui ok), e negli altri due casi ci riconduciamo al primo perché, rispettivamente, $g^2$,$g^4$, hanno ordine 2 (questa non l'ho capita)."
"Se $G$ è un gruppo di ordine 8 esiste $ginG$, $g!=u$ (u è l'unità) tale che $g^6=u$?"
La risposta che c'è sulle soluzioni è:
"Vero, l'ordine di g può essere 2,4,8; nel primo caso $g^6=(g^2)^3=u$ (e qui ok), e negli altri due casi ci riconduciamo al primo perché, rispettivamente, $g^2$,$g^4$, hanno ordine 2 (questa non l'ho capita)."
Sì hai ragione per la 1 l'avevo erroneamente interpretato.
Un elemento $g in G$ è tale che $g^6=1$ se il suo ordine divide 6 cioè è 1,2,3 o 6.
Siccome inj un gruppo ciclico ci sono elementi di ogni ordine che divide l'ordine del gruppo hai elementi di ordine 1 (solo 1), 2, 4,8. Allora gli elementi di ordine 2 sono quelli che stai cercando.
Un elemento $g in G$ è tale che $g^6=1$ se il suo ordine divide 6 cioè è 1,2,3 o 6.
Siccome inj un gruppo ciclico ci sono elementi di ogni ordine che divide l'ordine del gruppo hai elementi di ordine 1 (solo 1), 2, 4,8. Allora gli elementi di ordine 2 sono quelli che stai cercando.
Non capisco perché sto cercando quelli di ordine 2.
Provo a fartelo vedere in un altro modo.
Prendiamo un generico $g^k in G$. Dobbiamo trovare i $k$ per cui risulta $(g^k)^6=u$.
Ora, sapendo che $|G|=8$, sei d'accordo sul fatto che poichè $u=g^8=g^(16)=g^(24)=g^(8h)$, allora un generico elemento $g^l$ sarà uguale a $u$ se e solo se $l$ è un multiplo di $8$, cioè $l \equiv 0 (mod 8)$ ?
Detto questo, poichè risulta $(g^k)^6=g^(6k)=u$, dobbiamo risolvere la congruenza $6k\equiv 0(mod 8)$, che ha come soluzioni $k=0 " "uu" "k=4$.
Per cui, gli elementi cercati sono $g^(0)$ e $g^4$. Ovviamente essendo $g^0=u$ lo eliminiamo. L'unico elemento rimasto è $g^4$, che soddisfa la richiesta, infatti: $(g^4)^6=g^(4*6)=g^(24)=g^(3*8)=(g^8)^3=u^3=u.
In particolare, l'ordine di $g^4$ è ovviamente 2, in quanto $(g^4)^2=u$.
Prendiamo un generico $g^k in G$. Dobbiamo trovare i $k$ per cui risulta $(g^k)^6=u$.
Ora, sapendo che $|G|=8$, sei d'accordo sul fatto che poichè $u=g^8=g^(16)=g^(24)=g^(8h)$, allora un generico elemento $g^l$ sarà uguale a $u$ se e solo se $l$ è un multiplo di $8$, cioè $l \equiv 0 (mod 8)$ ?
Detto questo, poichè risulta $(g^k)^6=g^(6k)=u$, dobbiamo risolvere la congruenza $6k\equiv 0(mod 8)$, che ha come soluzioni $k=0 " "uu" "k=4$.
Per cui, gli elementi cercati sono $g^(0)$ e $g^4$. Ovviamente essendo $g^0=u$ lo eliminiamo. L'unico elemento rimasto è $g^4$, che soddisfa la richiesta, infatti: $(g^4)^6=g^(4*6)=g^(24)=g^(3*8)=(g^8)^3=u^3=u.
In particolare, l'ordine di $g^4$ è ovviamente 2, in quanto $(g^4)^2=u$.
Allora vediamo se ho capito.
Immaginiamo di avere un gruppo $G$ stavolta di ordine 10. Esiste un elemento $g$ non nullo tale che $g^4=u$?
Prendo un generico elemento $g^kinG$. Quindi devo trovare i $k$ per cui risulta $(g^k)^4=u$.
Io so che $g^(10h)=u$, quindi un generico elemento $g^l=u$ se e solo se $l\equiv 0 (mod 10)$
Risulta che $(g^k)^4=g^(4k)=u$, quindi devo risolvere la congruenza $4k\equiv 0 (mod 10)$, che ha soluzioni 0 e 5 (oppure ce ne ha qualche altra?)
Per cui gli elementi sono $g^0$ e $g^5$ . $g^0$ sicuramente soddisfa la richiesta, inoltre $g^5$ ho che:
$(g^5)^4=g^(5*4)=g^20=g^(10*2)=(g^10)^2=u^2=u
L'ordine di $g^5$ è 2 perché $(g^5)^2=u$
Ho ragionato in maniera corretta?
Immaginiamo di avere un gruppo $G$ stavolta di ordine 10. Esiste un elemento $g$ non nullo tale che $g^4=u$?
Prendo un generico elemento $g^kinG$. Quindi devo trovare i $k$ per cui risulta $(g^k)^4=u$.
Io so che $g^(10h)=u$, quindi un generico elemento $g^l=u$ se e solo se $l\equiv 0 (mod 10)$
Risulta che $(g^k)^4=g^(4k)=u$, quindi devo risolvere la congruenza $4k\equiv 0 (mod 10)$, che ha soluzioni 0 e 5 (oppure ce ne ha qualche altra?)
Per cui gli elementi sono $g^0$ e $g^5$ . $g^0$ sicuramente soddisfa la richiesta, inoltre $g^5$ ho che:
$(g^5)^4=g^(5*4)=g^20=g^(10*2)=(g^10)^2=u^2=u
L'ordine di $g^5$ è 2 perché $(g^5)^2=u$
Ho ragionato in maniera corretta?
Esatto! Ora che hai capito questo, vediamo il perchè dell'ordine 2 (nel tuo esempio, ti viene ancora ordine 2, ma è un caso):
Prendiamo il gruppo di prima, quello con $|G|=8$. Tutti gli elementi del gruppo hanno l'ordine che divide quello del gruppo. Ci saranno quindi elementi di ordine 2, 4 e 8, in quanto vale la regola: dato un generico $g^k in G$, $o(g^k)=|G|/(mcd(|G|,k))$.
Ora, dobbiamo trovare i $g^k$ tali che $(g^k)^6=g^(6k)=u$. Ma $g^h=u$ se e solo se $o(g^h)|h$. Infatti, se $o(g^h)|h$, allora $h=o(g^h)*z$ dove $zinZZ$; quindi $g^h=g^(o(g^h)*z)=(g^(o(g^h)))^z$. Per il teorema di Lagrange, un elemento elevato al suo ordine dà l'unità, quindi $=u^z=u$.
Fissato quindi $h=6$ in questo caso, $o((g^k)^6)|6$, da cui i possibili ordini sono 2,3 e 6.
Unendo i due ragionamenti, abbiamo che:
1)l'ordine di un elemento qualsiasi divide quello del gruppo
2)un elemento elevato alla 6 dà u se il suo ordine divide 6
L'unico elemento che soddisfa queste due condizioni è quello che ha ordine 2 ($2|8 " e "2|6$), che è $g^4$.
Nel tuo esempio, avevamo $|G|=10$, da cui i possibili ordini sono 2 e 5; l'h in questione stavolta è 4, quindi i possibili ordini sono 2 e 4. E quindi di nuovo, ma è un caso!, l'unico elemento ha ordine 2, ed è $g^5$.
Generalizzando al massimo, riscriviamo le condizioni del $g^k$ sapendo che $g^k in G$ e che $(g^k)^h=u$:
1) $o(g^k)| |G|$
2) $o(g^k)| h$
Se osservi bene, vedrai che allora $o(g^k)$ è un divisore comune di $|G|$ e di $h$. Basta prendere come divisore, proprio il massimo comun divisore, da cui:
$o(g^k)=mcd(|G|,h)$
Verifichiamo facilmente i risultati ottenuti prima: $o(g^k)=mcd(8,6)=2$! e $o(g^k)=mcd(10,4)=2$!
Spero ti sia tutto chiaro, se hai dubbi chiedi!
Ciao
Prendiamo il gruppo di prima, quello con $|G|=8$. Tutti gli elementi del gruppo hanno l'ordine che divide quello del gruppo. Ci saranno quindi elementi di ordine 2, 4 e 8, in quanto vale la regola: dato un generico $g^k in G$, $o(g^k)=|G|/(mcd(|G|,k))$.
Ora, dobbiamo trovare i $g^k$ tali che $(g^k)^6=g^(6k)=u$. Ma $g^h=u$ se e solo se $o(g^h)|h$. Infatti, se $o(g^h)|h$, allora $h=o(g^h)*z$ dove $zinZZ$; quindi $g^h=g^(o(g^h)*z)=(g^(o(g^h)))^z$. Per il teorema di Lagrange, un elemento elevato al suo ordine dà l'unità, quindi $=u^z=u$.
Fissato quindi $h=6$ in questo caso, $o((g^k)^6)|6$, da cui i possibili ordini sono 2,3 e 6.
Unendo i due ragionamenti, abbiamo che:
1)l'ordine di un elemento qualsiasi divide quello del gruppo
2)un elemento elevato alla 6 dà u se il suo ordine divide 6
L'unico elemento che soddisfa queste due condizioni è quello che ha ordine 2 ($2|8 " e "2|6$), che è $g^4$.
Nel tuo esempio, avevamo $|G|=10$, da cui i possibili ordini sono 2 e 5; l'h in questione stavolta è 4, quindi i possibili ordini sono 2 e 4. E quindi di nuovo, ma è un caso!, l'unico elemento ha ordine 2, ed è $g^5$.
Generalizzando al massimo, riscriviamo le condizioni del $g^k$ sapendo che $g^k in G$ e che $(g^k)^h=u$:
1) $o(g^k)| |G|$
2) $o(g^k)| h$
Se osservi bene, vedrai che allora $o(g^k)$ è un divisore comune di $|G|$ e di $h$. Basta prendere come divisore, proprio il massimo comun divisore, da cui:
$o(g^k)=mcd(|G|,h)$
Verifichiamo facilmente i risultati ottenuti prima: $o(g^k)=mcd(8,6)=2$! e $o(g^k)=mcd(10,4)=2$!
Spero ti sia tutto chiaro, se hai dubbi chiedi!
Ciao
"Manugal":
Immaginiamo di avere un gruppo $G$ stavolta di ordine 10. Esiste un elemento $g$ non nullo tale che $g^4=u$?
Aggiungo solo che l'ipotesi G ciclico ti serve per l'esistenza di un elemento di ordine 2. (sempre se non conosci il th di Cauchy).
Non lo conosco, qual'è il teorema di Cauchy?
Inoltre per quanto riguarda la spiegazione di prima, se io ho un elemento di ordine h e $g^k=u$ io so che $k|h$. Non capisco il tuo passaggio quando scrivi:
"Ma $g^h=u$ se e solo se $o(g^h)|h$"
Inoltre per quanto riguarda la spiegazione di prima, se io ho un elemento di ordine h e $g^k=u$ io so che $k|h$. Non capisco il tuo passaggio quando scrivi:
"Ma $g^h=u$ se e solo se $o(g^h)|h$"
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