Dubbi su semplice equazione diofantea.
salve,
ho la seguente equazione diofantea già svolta:
$3x+7y=2$
essa è risolubile in $ZZ$, perchè $MCD(3,7) = 1|2$.
Allora, essendo $1 = (-2)3 + (1)7$, si ha $2 = (-4)3 + (2)7$.
Una soluzione intera è quindi $(-4,2)$.
Un'altra soluzione è $(10,-4)$.
pongo ora le mie domande
per ricavare correttamente e senza problemi questo
ho seguito il procedimento per calcolare l'identità di bezout tramite $\alpha$ e $\beta$.
e spero sia il giusto procedimento.
ma poi perchè si ottiene il seguente?:
moltiplica per 2? ma perchè? perchè non moltiplicare per 3 ad esempio?
e quindi come ottiene $(10, -4)$?
potreste per cortesia aiutarmi?
grazie mille.
ho la seguente equazione diofantea già svolta:
$3x+7y=2$
essa è risolubile in $ZZ$, perchè $MCD(3,7) = 1|2$.
Allora, essendo $1 = (-2)3 + (1)7$, si ha $2 = (-4)3 + (2)7$.
Una soluzione intera è quindi $(-4,2)$.
Un'altra soluzione è $(10,-4)$.
pongo ora le mie domande
per ricavare correttamente e senza problemi questo
$1 = (-2)3 + (1)7$
ho seguito il procedimento per calcolare l'identità di bezout tramite $\alpha$ e $\beta$.
e spero sia il giusto procedimento.
ma poi perchè si ottiene il seguente?:
$2 = (-4)3 + (2)7$
moltiplica per 2? ma perchè? perchè non moltiplicare per 3 ad esempio?
e quindi come ottiene $(10, -4)$?
potreste per cortesia aiutarmi?
grazie mille.
Risposte
Ciao, è molto semplice.
Tu con Bezout ricavi l'identità
$(-2)3+(1)7=1$
Ora però la tua equazione è $3x+7y=2$
Se moltiplichi entrambi i membri per 2 (1° equazione), vedi bene che ti avvicini molto alla traccia, visto che ottieni 2 a secondo membro.
Moltiplico allora ogni addendo per 2:
$2\cdot(-2)3+2\cdot(1)7=2$
cioè
$(-4)3+(2)7=2$ e ricordando che l'equazione era $3x+7y=2$, vedi subito che ad $x$ puoi assegnare $-4$, e ad $y$ assegni $2$.
Moltiplicare per 2 serve per ricondursi all'equazione diofantea data.
L'idea è: se riesci a risolvere l'eq. diofantea
$ax+by=c$
con 1 a secondo membro cioè trovare $x_0$, $y_0$
$ax_0+by_0=1$ allora moltiplicando per $c$ (che nel tuo esercizio vale $2$)
ottieni
$a(cx_0)+b(cy_0)=c$ ed ecco che $cx_0$ e $cy_0$ sono una coppia di sol che cercavi.
Se, come chiedi, avessi moltiplicato per $3$, semplicemente non mi serviva. Avrei risolto un'altra equazione diofantea.
Ti è chiaro tutto?
Ciao!
Tu con Bezout ricavi l'identità
$(-2)3+(1)7=1$
Ora però la tua equazione è $3x+7y=2$
Se moltiplichi entrambi i membri per 2 (1° equazione), vedi bene che ti avvicini molto alla traccia, visto che ottieni 2 a secondo membro.
Moltiplico allora ogni addendo per 2:
$2\cdot(-2)3+2\cdot(1)7=2$
cioè
$(-4)3+(2)7=2$ e ricordando che l'equazione era $3x+7y=2$, vedi subito che ad $x$ puoi assegnare $-4$, e ad $y$ assegni $2$.
Moltiplicare per 2 serve per ricondursi all'equazione diofantea data.
L'idea è: se riesci a risolvere l'eq. diofantea
$ax+by=c$
con 1 a secondo membro cioè trovare $x_0$, $y_0$
$ax_0+by_0=1$ allora moltiplicando per $c$ (che nel tuo esercizio vale $2$)
ottieni
$a(cx_0)+b(cy_0)=c$ ed ecco che $cx_0$ e $cy_0$ sono una coppia di sol che cercavi.
Se, come chiedi, avessi moltiplicato per $3$, semplicemente non mi serviva. Avrei risolto un'altra equazione diofantea.
Ti è chiaro tutto?
Ciao!
quindi praticamente moltiplica per 2 perche è il 2 che compare al secondo membro?
e come ottiene $(10, -4)$?
e come ottiene $(10, -4)$?
Sì, per quel motivo.
Una volta trovate le soluzioni $-4$ e $2$, le altre sono nella forma
$x=-4+7k$
$y=2-3k$ al variare di $k$ in $mathbb{Z}$
Assegnando in particolare $k=2$, ottieni quella soluzione che dici.
Una volta trovate le soluzioni $-4$ e $2$, le altre sono nella forma
$x=-4+7k$
$y=2-3k$ al variare di $k$ in $mathbb{Z}$
Assegnando in particolare $k=2$, ottieni quella soluzione che dici.
ma se in generale tutte e sole le soluzioni intere sono del tipo $(x',y')$ dove:
$x' = \bar{x} - b/d * k$
$y' = \bar{y} + a/d * k$
al variare di $k \in ZZ$
con $d=MCD(a,b)$
non dovrebbe essere invece :
se $a=3$, $b=7$
$\bar{x} = -4$, $\bar{y} = 2$
$x' = -4 - 7/1 * k = -4 - 7k$
$y' = 2+ 3/1 * k = 2 + 3k$
o sbaglio?
$x' = \bar{x} - b/d * k$
$y' = \bar{y} + a/d * k$
al variare di $k \in ZZ$
con $d=MCD(a,b)$
non dovrebbe essere invece :
se $a=3$, $b=7$
$\bar{x} = -4$, $\bar{y} = 2$
$x' = -4 - 7/1 * k = -4 - 7k$
$y' = 2+ 3/1 * k = 2 + 3k$
o sbaglio?
per chiarezza, per completezza e per non lasciare in sospeso l'argomento,
ho visto in rete ed effettivamente è
$x = x_0 + kb$
$y = y_0 - ka$
con $k \in ZZ$
quindi steven ha ragione ma su questo non c'erano dubbi.
data questa
PROPOSIZIONE:
Siano $a,b,c \in ZZ$ e sia $(\bar{x}, \bar{y})$ una soluzione intera della $ax+by=c$.
Allora tutte e sole le soluzioni intere di tale equazione si ottengono aggiungendo alla $(\bar{x}, \bar{y})$
la soluzione generale dell'equazione omogenea associata $ax+by=0$, ossia tutte e sole le soluzioni intere
della equazione $ax+by=c$ sono del tipo $(x', y')$, dove
$x' = \bar{x} - b/d*t$
$y' = \bar{y} + a/d*t$
al variare di $t \in ZZ$
essendo $d = MCD(a,b)$.
A quanto ho capito questa proposizione serve per calcolare tutte le soluzioni dell'equazione assegnata
che possiede una soluzione. ma applicandola, se non ho sbagliato qualcosa così come ho scritto nel post precedente, evidentemente i risultati non corrispondono.
Per quale motivo? e quindi se non è questa la situazione giusta per applicare tale proposizione, in che ambito deve essere applicata e perchè?
mille grazie ancora.
ho visto in rete ed effettivamente è
$x = x_0 + kb$
$y = y_0 - ka$
con $k \in ZZ$
quindi steven ha ragione ma su questo non c'erano dubbi.
data questa
PROPOSIZIONE:
Siano $a,b,c \in ZZ$ e sia $(\bar{x}, \bar{y})$ una soluzione intera della $ax+by=c$.
Allora tutte e sole le soluzioni intere di tale equazione si ottengono aggiungendo alla $(\bar{x}, \bar{y})$
la soluzione generale dell'equazione omogenea associata $ax+by=0$, ossia tutte e sole le soluzioni intere
della equazione $ax+by=c$ sono del tipo $(x', y')$, dove
$x' = \bar{x} - b/d*t$
$y' = \bar{y} + a/d*t$
al variare di $t \in ZZ$
essendo $d = MCD(a,b)$.
A quanto ho capito questa proposizione serve per calcolare tutte le soluzioni dell'equazione assegnata
che possiede una soluzione. ma applicandola, se non ho sbagliato qualcosa così come ho scritto nel post precedente, evidentemente i risultati non corrispondono.
Per quale motivo? e quindi se non è questa la situazione giusta per applicare tale proposizione, in che ambito deve essere applicata e perchè?
mille grazie ancora.
Scusami se non avevo risposto, prima.
Se ho capito, il tuo dubbio è questo: quale è la soluzione giusta tra
$x' = -4 - 7/1 * k = -4 - 7k$ (usando la proposizione che riporti)
$y' = 2+ 3/1 * k = 2 + 3k$
e la mia
$x'= -4+7k$ (ottenuta con la formula che hai trovato sul web)
$y'= 2-3k$
La risposta è tutte e due.
Mi spiego, ad esempio
$y= 2-3k$ devi vedere $y$ come un insieme di valori, uno per ogni valore assunto da $k$ in $\mathbb{Z}$
Ad esempio per $k=2$ ottengo $-4$
Ora se prendo
$y= 2+3k$, questo è sempre un insieme di valori, ed è lo stesso di prima.
Semplicemente se prima $y$ valeva $-4$ per $k=2$, ora assumerà quel valore per $k=-2$
Sto solo cambiando segno al parametro $k$, quindi posso scrivere $-k$.
Scritto bene, possiamo dire che
$\mathbb{Z}={k, \text{con}\quad k\inZZ}={-k \text{con}\quad k\inZZ}$
Spero di essermi spiegato.
E' una questione, se vogliamo di simmetria: con $k$ raggiungi tutti i positivi dando valori positivi a $k$ e i negativi dandoglieli negativi.
Con $-k$ raggiungi tutti i positivi dando valori negativi, e negativi dandoli positivi.
Ma visto che $k$ scorre su tutti gli interi, copro tutto in tutti e due i casi, ed ho lo stesso.
Se ho capito, il tuo dubbio è questo: quale è la soluzione giusta tra
$x' = -4 - 7/1 * k = -4 - 7k$ (usando la proposizione che riporti)
$y' = 2+ 3/1 * k = 2 + 3k$
e la mia
$x'= -4+7k$ (ottenuta con la formula che hai trovato sul web)
$y'= 2-3k$
La risposta è tutte e due.
Mi spiego, ad esempio
$y= 2-3k$ devi vedere $y$ come un insieme di valori, uno per ogni valore assunto da $k$ in $\mathbb{Z}$
Ad esempio per $k=2$ ottengo $-4$
Ora se prendo
$y= 2+3k$, questo è sempre un insieme di valori, ed è lo stesso di prima.
Semplicemente se prima $y$ valeva $-4$ per $k=2$, ora assumerà quel valore per $k=-2$
Sto solo cambiando segno al parametro $k$, quindi posso scrivere $-k$.
Scritto bene, possiamo dire che
$\mathbb{Z}={k, \text{con}\quad k\inZZ}={-k \text{con}\quad k\inZZ}$
Spero di essermi spiegato.
E' una questione, se vogliamo di simmetria: con $k$ raggiungi tutti i positivi dando valori positivi a $k$ e i negativi dandoglieli negativi.
Con $-k$ raggiungi tutti i positivi dando valori negativi, e negativi dandoli positivi.
Ma visto che $k$ scorre su tutti gli interi, copro tutto in tutti e due i casi, ed ho lo stesso.
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