Dubbi su aleph zero
Salve,leggendo un libro divulgativo sono venuto a conoscenza dei numeri transfiniti.Facendo qualche ricerca ho trovato molte cose su questi numeri ma non sono riuscito a capire il concetto che qui vi riporto:
$ aleph _0 $ va indicare la cardinalità dei vari insiemi tra cui quello dei sottoinsiemi di qualsiasi insieme infinito numerabile
che possono essere: $ omega_0 $ ,$2* omega_0$,$omega_0^2$ e anche $omega_0^(omega_0)$,tuttavia non ne fa parte $omega_1$.Io ho avuto dei dubbi su quest ultimo punto,perché se non sbaglio, $ omega_1=2^(omega_0) $.
Ma $ omega_0^(omega_0) $ deve essere maggiore di $2^(omega_0)$ proprio perché $ omega_0>2 $ di conseguenza $ omega_0^(omega_0)>omega_1 $ e quindi non capisco come sia possibile che $omega_1$ abbia cardinalità maggiore di $aleph_0$ se $omega_0^(omega_0)$ ha la stessa cardinalità di $aleph_0$.
Se non vi dispiace potreste spiegarmi dove sbaglio?
p.s:il sito che mi ha fatto sorgere il dubbio sopra riportato è questo:
https://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number#Aleph-null
$ aleph _0 $ va indicare la cardinalità dei vari insiemi tra cui quello dei sottoinsiemi di qualsiasi insieme infinito numerabile
che possono essere: $ omega_0 $ ,$2* omega_0$,$omega_0^2$ e anche $omega_0^(omega_0)$,tuttavia non ne fa parte $omega_1$.Io ho avuto dei dubbi su quest ultimo punto,perché se non sbaglio, $ omega_1=2^(omega_0) $.
Ma $ omega_0^(omega_0) $ deve essere maggiore di $2^(omega_0)$ proprio perché $ omega_0>2 $ di conseguenza $ omega_0^(omega_0)>omega_1 $ e quindi non capisco come sia possibile che $omega_1$ abbia cardinalità maggiore di $aleph_0$ se $omega_0^(omega_0)$ ha la stessa cardinalità di $aleph_0$.
Se non vi dispiace potreste spiegarmi dove sbaglio?
p.s:il sito che mi ha fatto sorgere il dubbio sopra riportato è questo:
https://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number#Aleph-null
Risposte
Incomincio dicendo che non sono certamente un esperto in materia e chiedendo scusa per il ritardo (è da un po'che non metto dito in questo forum).
Per quello che so i numeri cardinali non sono dei veri e propri "numeri" come normalmente si intende.
Faccio un breve excursus. Scelto un insieme finito $A$, ci bastano i numeri naturali. A un certo punto però ci si affaccia a insiemi infiniti (la sai la definizione?). Ci scordiamo assolutamente di usare i numeri naturali e metterci a contare gli elementi di un insieme infinto. Piuttosto scegliamo degli insiemi di "riferimento" come $NN$, che si pone avere cardinalità $aleph_0$. Attenzione: $aleph_0$ non è un numero naturale, per cui non ha senso confrontarli con i numeri naturali (mettila così: sono grandezze diverse; puoi confrontare una lunghezza con un area?). Non ha senso per esempio scrivere $aleph_0>2$, a meno che con quel "$>$" indichi qualcos'altro.
Passiamo ora ad un'altra precisazione. Preso un insieme finito $A$ di $n$ elementi, l'insieme $P(A)$ ha $2^n$ elementi. Ora tu saprai che $RR$ ha la cardinalità del continuo, indicata con $2^(aleph_0)$, e equipotente a $P(NN)$. Ma la notazione "$2^(aleph_0)$" non indica che un elevamento a potenza! È solo creata in analogia a quanto accade per gli insiemi finiti!
Ribadisco che non sono uno di questo ambito e quello che ho detto lo devi prendere con un po' di sospetto.
ID
Per quello che so i numeri cardinali non sono dei veri e propri "numeri" come normalmente si intende.
Faccio un breve excursus. Scelto un insieme finito $A$, ci bastano i numeri naturali. A un certo punto però ci si affaccia a insiemi infiniti (la sai la definizione?). Ci scordiamo assolutamente di usare i numeri naturali e metterci a contare gli elementi di un insieme infinto. Piuttosto scegliamo degli insiemi di "riferimento" come $NN$, che si pone avere cardinalità $aleph_0$. Attenzione: $aleph_0$ non è un numero naturale, per cui non ha senso confrontarli con i numeri naturali (mettila così: sono grandezze diverse; puoi confrontare una lunghezza con un area?). Non ha senso per esempio scrivere $aleph_0>2$, a meno che con quel "$>$" indichi qualcos'altro.
Passiamo ora ad un'altra precisazione. Preso un insieme finito $A$ di $n$ elementi, l'insieme $P(A)$ ha $2^n$ elementi. Ora tu saprai che $RR$ ha la cardinalità del continuo, indicata con $2^(aleph_0)$, e equipotente a $P(NN)$. Ma la notazione "$2^(aleph_0)$" non indica che un elevamento a potenza! È solo creata in analogia a quanto accade per gli insiemi finiti!
Ribadisco che non sono uno di questo ambito e quello che ho detto lo devi prendere con un po' di sospetto.
ID
Grazie per la risposta,credo di aver capito il concetto
Se con \(\omega_0^{\omega_0}\) intendi l'insieme di tutte le funzioni da \(\omega\) in se' stesso, questo non puo' essere numerabile perche' c'e' una funzione iniettiva $2^\omega\to \omega^\omega$. Trovala 
quindi $(omega_0)^(omega_0)inaleph_0$?
Devi dire tu cos'è \(\omega^{\omega}\). La notazione è la stessa per indicare due elevamenti a potenza diversi (nei numeri ordinali e nei numeri cardinali), e la risposta alla tua domanda dipende da dove fai la potenza. In \(\mathbf{Ord}\) \(\omega^\omega\) è numerabile, in \(\mathbf{Card}\) no.
E i numeri ordinali e cardinali sono numeri degni di questo nome, solo perché non hanno quelle proprietà che ti insegnano alle elementari non significa che non si meritino di stare tra i numeri
E i numeri ordinali e cardinali sono numeri degni di questo nome, solo perché non hanno quelle proprietà che ti insegnano alle elementari non significa che non si meritino di stare tra i numeri
In questo caso è in $Ord$ $(omega_0)^(omeha_0)$ ma non capisco come possa cambiare così tanto,cioè qual'e la differenza tra elevamento a potenza in $Ord$ e in $Card$?
Con l'assioma della scelta ogni insieme ha un cardinale, definito come l'ordinale iniziale nella classe di tutti gli insiemi con cui lui è in biiezione: in simboli
\[\#A := \inf \big\{ \alpha \in \mathbf{Ord}\mid \alpha \cong A \big\}\] E' l'assioma della scelta (nella forma dell'asserto per cui "ogni insieme si può ben-ordinare") a garantirti che questo inf esista.
Perciò, la prima cosa da avere chiara in testa è che i cardinali sono particolari numeri ordinali. Ora, l'elevamento a potenza di un insieme rispetto ad un altro è l'operazione che rende vero che esistono delle biiezioni
\[\mathbf{Set}(X\times Y, Z) \cong \mathbf{Set}(X, Z^Y)\cong \mathbf{Set}(Y, Z^X)\] che sono naturali nei tre argomenti.
In tal senso, esiste un modo ragionevole in cui si possono definire delle operazioni binarie tra numeri cardinali: scrivo \(\#A\) per indicare un generico cardinale, dal momento che è ovvio (dalla definizione) che ogni cardinale è la cardinalità di sé stesso. Col che:
\[
\begin{gather*}
\# A + \# B := \#(A\amalg B)\\
\#A \cdot \#B := \#(A\times B)\\
\# A^{\# B} := \#(A^B)
\end{gather*}
\] Questo significa che la cardinalità di \(\omega^\omega\) è la cardinalità dell'insieme di tutte le funzioni da \(\omega\) in sé stesso. E questo insieme è non numerabile come è semplice dimostrare (è sufficiente trovare una funzione iniettiva \(2^\omega \to \omega^\omega\): un esempio è il seguente, prendi una successione numerabile \((a_n)\) di zeri ed uni, e mandala nella funzione che manda \(n\in\omega\) nella ridotta \(n\)-esima di \((a_n)\) riguardata come numero in base 2, o per meglio dire in \(\sum a_i 2^i\). Questa funzione è iniettiva, come ti lascio dimostrare.
Qualcosa di completamente diverso accade con l'aritmetica ordinale, dove invece si parte con una operazione detta somma ordinale, in cui un ordinale \(\alpha\) e un ordinale \(\beta\) vengono sommati giustapponendo il primo al secondo, e ottenendo un nuovo ordinale \(\alpha\oplus\beta\) che risulta dalla loro "giunzione". Questa operazione non si comporta molto bene perché non è simmetrica, nemmeno sugli insiemi finiti (ti invito a trovare il motivo per cui, benché \([m]\oplus[n]\) e \([n]\oplus[m]\) abbiano lo stesso insieme sottostante, essi non sono naturalmente isomorfi, nel senso che non è possibile far commutare il quadrato
\[
\begin{array}{ccc}
[m]\oplus[n] &\to&[n]\oplus[m]\\
\downarrow && \downarrow\\
[m']\oplus[n'] &\to&[n']\oplus [m']
\end{array}
\] quando ti siano date delle funzioni monotòne \([m]\to [m'], [n]\to [n']\)). Usando la somma ordinale puoi definire le operazioni di prodotto ed elevamento a potenza ordinale come segue:
\[\#A := \inf \big\{ \alpha \in \mathbf{Ord}\mid \alpha \cong A \big\}\] E' l'assioma della scelta (nella forma dell'asserto per cui "ogni insieme si può ben-ordinare") a garantirti che questo inf esista.
Perciò, la prima cosa da avere chiara in testa è che i cardinali sono particolari numeri ordinali. Ora, l'elevamento a potenza di un insieme rispetto ad un altro è l'operazione che rende vero che esistono delle biiezioni
\[\mathbf{Set}(X\times Y, Z) \cong \mathbf{Set}(X, Z^Y)\cong \mathbf{Set}(Y, Z^X)\] che sono naturali nei tre argomenti.
In tal senso, esiste un modo ragionevole in cui si possono definire delle operazioni binarie tra numeri cardinali: scrivo \(\#A\) per indicare un generico cardinale, dal momento che è ovvio (dalla definizione) che ogni cardinale è la cardinalità di sé stesso. Col che:
\[
\begin{gather*}
\# A + \# B := \#(A\amalg B)\\
\#A \cdot \#B := \#(A\times B)\\
\# A^{\# B} := \#(A^B)
\end{gather*}
\] Questo significa che la cardinalità di \(\omega^\omega\) è la cardinalità dell'insieme di tutte le funzioni da \(\omega\) in sé stesso. E questo insieme è non numerabile come è semplice dimostrare (è sufficiente trovare una funzione iniettiva \(2^\omega \to \omega^\omega\): un esempio è il seguente, prendi una successione numerabile \((a_n)\) di zeri ed uni, e mandala nella funzione che manda \(n\in\omega\) nella ridotta \(n\)-esima di \((a_n)\) riguardata come numero in base 2, o per meglio dire in \(\sum a_i 2^i\). Questa funzione è iniettiva, come ti lascio dimostrare.
Qualcosa di completamente diverso accade con l'aritmetica ordinale, dove invece si parte con una operazione detta somma ordinale, in cui un ordinale \(\alpha\) e un ordinale \(\beta\) vengono sommati giustapponendo il primo al secondo, e ottenendo un nuovo ordinale \(\alpha\oplus\beta\) che risulta dalla loro "giunzione". Questa operazione non si comporta molto bene perché non è simmetrica, nemmeno sugli insiemi finiti (ti invito a trovare il motivo per cui, benché \([m]\oplus[n]\) e \([n]\oplus[m]\) abbiano lo stesso insieme sottostante, essi non sono naturalmente isomorfi, nel senso che non è possibile far commutare il quadrato
\[
\begin{array}{ccc}
[m]\oplus[n] &\to&[n]\oplus[m]\\
\downarrow && \downarrow\\
[m']\oplus[n'] &\to&[n']\oplus [m']
\end{array}
\] quando ti siano date delle funzioni monotòne \([m]\to [m'], [n]\to [n']\)). Usando la somma ordinale puoi definire le operazioni di prodotto ed elevamento a potenza ordinale come segue:
[*:37xe42tn] \(\alpha \odot \beta = \alpha \oplus \alpha\oplus \dots\oplus \alpha\) con la somma fatta \(\beta\) volte (ti basta definirla al passo base e poi fare ricorsione); nota che però allora il prodotto ordinale non è commutativo, dal momento che \(\omega\cdot 2 = \omega\oplus \omega\) e invece \(2\cdot \omega = 2\oplus 2\oplus2\oplus\dots = \omega\) (\(\omega\oplus\omega\) non può essere isomorfo ad \(\omega\) perché ...?).[/*:m:37xe42tn]
[*:37xe42tn] \(\alpha^{(\beta)} = \alpha\odot\alpha\odot\dots\) (idem, si fa per ricorsione: per essere più formali dì pure che $\alpha^{(0)}:=1$ e che $\alpha^{(\gamma+1)} := \alpha^{(\gamma)}\odot \alpha$, $\alpha^{(\text{colim}_{\beta < \kappa} \beta)} := \text{colim}_{\beta < \kappa} \alpha^{(\beta)}$. Ho riservato un altro simbolo all'esponenziazione proprio per non confondere le acque, del resto la mia notazione è altamente non classica, benché meno ambigua.[/*:m:37xe42tn][/list:u:37xe42tn]
Le potenze ordinali non cambiano la cardinalità (almeno, non sempre: diciamo che "spesso non lo fanno"); del resto è una cosa che apprezzi per la prima volta proprio definendo $\omega^{(\omega)}$, perché quest'ultimo è semplicemente l'insieme $\bigcup_n \omega^n$ (che questo sia un ordinale va dimostrato). Così come ora va dimostrato che questo aggeggio è numerabile. Lo è, buona fortuna
Grazie.Ho ancora qualche perplessità ma del resto le mie "conoscenze" sulla teoria degli insiemi è in generale in algebra sono molto ridotte per non dire nulle,per esempio non so cosa sia il $colim$ ne il simbolo $ uu $,se potresti gentilmente spiegarmi questi concetti te ne sarei molto grato
grazie
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