Dubbi isomorfismi di anelli
1)Dimostrare se i due anelli $\mathbb{Z} / {(3)}$ e $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ sono isomorfi.
Dimostrazione: la cardinalità di $\mathbb{Z} / {(3)}$ è uguale al numero dei possibili resti delle divisioni per 3. Essendo i resti possibili {0,1,2} l'anello ha cardinalità 3.
D'altra parte $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ ha cardinalità 9 perciò i due anelli non sono isomorfi.
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2)Dimostrare se i due anelli $\mathbb{Z}/{(1+i)}$ e $\mathbb{Z}_2$ sono isomorfi.
I possibili resti delle divisioni per (1+i) sono {0,1,i} quindi la cardinalità di $\mathbb{Z}/{(1+i)}$ è 3 mentre quella di $\mathbb{Z}_2$ è 2, perciò gli anelli non sono isomorfi.
é giusto?
Dimostrazione: la cardinalità di $\mathbb{Z} / {(3)}$ è uguale al numero dei possibili resti delle divisioni per 3. Essendo i resti possibili {0,1,2} l'anello ha cardinalità 3.
D'altra parte $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ ha cardinalità 9 perciò i due anelli non sono isomorfi.
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2)Dimostrare se i due anelli $\mathbb{Z}/{(1+i)}$ e $\mathbb{Z}_2$ sono isomorfi.
I possibili resti delle divisioni per (1+i) sono {0,1,i} quindi la cardinalità di $\mathbb{Z}/{(1+i)}$ è 3 mentre quella di $\mathbb{Z}_2$ è 2, perciò gli anelli non sono isomorfi.
é giusto?
Risposte
Tutto sbagliato purtroppo. Riprova.
Quanto è il resto di i diviso 3?!
Non dovrebbe essere i?
In effetti lo dice anche la canzone: $i$ gatti in fila per tre con resto di $i$...
Jontao, nell'item 1 devi calcolare rappresentanti del quoziente, ricordando che $a+ib$ (con $a,b$ interi) è equivalente a $0$ se $a$ e $b$ sono entrambi divisibili per $3$.
1)
I rappresentanti del quoziente sono : ${0,1,2,i,2i,1+i,2+i,1+2i,2+2i}$
Sia $\phi: \mathbb{Z}/{<3>} \to mathbb{Z_3} \times \mathbb{Z_3}$ omomorfismo tra anelli.
Allora:
1- $\phi(0) = (0,0)$
2- $\phi(1) = (1,1)$
3- $\phi(2) = \phi(1+1) = \phi(1)+\phi(1) = (2,2)$
4- $\phi(i^2) = \phi(i)^2 = \phi(-1) = \phi(2) = (2,2)$
Ma in $\mathbb{Z_3} \times \mathbb{Z_3}$ non c'è un $(a,b)$ tale che $(a,b)^2= (2,2)$ quindi gli anelli non sono isomorfi.
Giusto?
I rappresentanti del quoziente sono : ${0,1,2,i,2i,1+i,2+i,1+2i,2+2i}$
Sia $\phi: \mathbb{Z}/{<3>} \to mathbb{Z_3} \times \mathbb{Z_3}$ omomorfismo tra anelli.
Allora:
1- $\phi(0) = (0,0)$
2- $\phi(1) = (1,1)$
3- $\phi(2) = \phi(1+1) = \phi(1)+\phi(1) = (2,2)$
4- $\phi(i^2) = \phi(i)^2 = \phi(-1) = \phi(2) = (2,2)$
Ma in $\mathbb{Z_3} \times \mathbb{Z_3}$ non c'è un $(a,b)$ tale che $(a,b)^2= (2,2)$ quindi gli anelli non sono isomorfi.
Giusto?
Sì giusto. E il secondo esercizio l'hai risolto?
Per il secondo non capisco:
Ad esempio
$2+2i = 2*(1+i)+ 0$
$2+3i = 2*(1+i)+ i $
$3+2i = 2*(1+i) +1$
Dove sbaglio?
Ad esempio
$2+2i = 2*(1+i)+ 0$
$2+3i = 2*(1+i)+ i $
$3+2i = 2*(1+i) +1$
Dove sbaglio?
Nell'anello $ZZ$ due elementi $a+ib$, $c+i d$ sono equivalenti modulo l'ideale $I=(1+i)$ se e solo se la differenza $a+ib-(c+i d)$ è divisibile per $1+i$, cioè se e solo se esiste $x+iy in ZZ$ tale che $a+ib-(c+i d) = (1+i)(x+iy)$. Tu hai identificato $0,1,i$ come rappresentanti distinti modulo $I=(1+i)$ ma non lo sono, infatti $i$ e $1$ sono equivalenti modulo $I$, essendo $1-i$ divisibile per $1+i$: infatti abbiamo che $1-i = -i(1+i)$. In altre parole $i equiv 1 mod I$.
Adesso è chiaro.
Gli elementi di $\mathbb{Z}/{<1+i>}$ sono ${0,1}$, per:
1)$\phi(0) = [0]$
2)$\phi(1) = [1]$
$\mathbb{Z}/{<1+i>} \cong \mathbb{Z_2}$
__________________________________
Ho un'atra domanda:
In generale è possibile conoscere in anticipo quanti elementi ci sono in $R/I$ conoscendo l'anello e l'ideale?
Ad esempio in $\mathbb{Z}/{<1+i>}$ i rappresentanti del quoziente possono essere ${0,1,-1,i,-i}$,
gli unici elementi di grado minore a $(1+i)$. Potevo sapere in anticipo che i rappresentanti sono 2 o bisogna controllare per forza quali elementi sono congruenti?
Gli elementi di $\mathbb{Z}/{<1+i>}$ sono ${0,1}$, per:
1)$\phi(0) = [0]$
2)$\phi(1) = [1]$
$\mathbb{Z}/{<1+i>} \cong \mathbb{Z_2}$
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Ho un'atra domanda:
In generale è possibile conoscere in anticipo quanti elementi ci sono in $R/I$ conoscendo l'anello e l'ideale?
Ad esempio in $\mathbb{Z}/{<1+i>}$ i rappresentanti del quoziente possono essere ${0,1,-1,i,-i}$,
gli unici elementi di grado minore a $(1+i)$. Potevo sapere in anticipo che i rappresentanti sono 2 o bisogna controllare per forza quali elementi sono congruenti?
Occhio perché il tuo approccio non è ideale: tendi ad affermare cose senza dimostrarle. Hai risolto i due esercizi senza dimostrazione, per completare gli esercizi dovresti scrivere la dimostrazione.
Ci sono teoremi generali ma ovviamente non riguardano tutti gli anelli. Nel caso di $ZZ$ si può dimostrare che se $a+ib ne 0$ allora $ZZ//(a+ib)$ ha $a^2+b^2$ elementi.
Ci sono teoremi generali ma ovviamente non riguardano tutti gli anelli. Nel caso di $ZZ$ si può dimostrare che se $a+ib ne 0$ allora $ZZ//(a+ib)$ ha $a^2+b^2$ elementi.
Va bene,
grazie mille sei stato di grande aiuto.
grazie mille sei stato di grande aiuto.
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