Dubbi insieme numerabile
Salve a tutti,ho il seguente esercizio:
"Siano $Z$ un insieme infinito numerabile e $W$ un insieme finito.
Gli insieme $Z uu W$ e $Z-W$ sono numerabili?"
Che ragionamento devo fare in questi tipi di esercizi per arrivare ad una dimostrazione?
Grazie mille a tutti per la disponibilità
"Siano $Z$ un insieme infinito numerabile e $W$ un insieme finito.
Gli insieme $Z uu W$ e $Z-W$ sono numerabili?"
Che ragionamento devo fare in questi tipi di esercizi per arrivare ad una dimostrazione?
Grazie mille a tutti per la disponibilità
Risposte
$Z\setminus W$ ha senso se $W\subset Z$, o per meglio dire, la seconda domanda ha senso considerando $W$ immerso (in qualche modo, non importa quale) dentro $Z$. In questo caso
1. $Z\cup W$ e' numerabile perche' (a) esiste una funzione biiettiva \(f : Z\to \aleph_0\) (b) \(p_{f,n}=f+n\colon z\mapsto f(z)+n\) e' una funzione iniettiva che "manca" precisamente i primi $n$ elementi di \(\aleph_0\); allora se $\bar n=|W|$ (cioe' se \(W=\{w_1,\dots, w_n\}\), definisco \(Z\cup W\to \aleph_0\) come la funzione che manda $z$ in $p_{f,n}(z)$ e $w_i$ in $i$ per ogni \(1\le i\le n\). Questa funzione e' biiettiva.
2. $Z\setminus W$ e' numerabile perche' $p_{f,n}$ e' una biiezione \(Z\setminus W\to \aleph_0\).
1. $Z\cup W$ e' numerabile perche' (a) esiste una funzione biiettiva \(f : Z\to \aleph_0\) (b) \(p_{f,n}=f+n\colon z\mapsto f(z)+n\) e' una funzione iniettiva che "manca" precisamente i primi $n$ elementi di \(\aleph_0\); allora se $\bar n=|W|$ (cioe' se \(W=\{w_1,\dots, w_n\}\), definisco \(Z\cup W\to \aleph_0\) come la funzione che manda $z$ in $p_{f,n}(z)$ e $w_i$ in $i$ per ogni \(1\le i\le n\). Questa funzione e' biiettiva.
2. $Z\setminus W$ e' numerabile perche' $p_{f,n}$ e' una biiezione \(Z\setminus W\to \aleph_0\).
Scusami killing non ho ben capito la simbologia che usi al punto 1,potresti spiegarmelo in maniera più semplice?(scusami ma è poco che studio logica)
Ti ringrazio
Ti ringrazio
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