Doppia implicazione
Ho dubbio di natura logica che spero possa esser inserito in questa sezione.
Supponiamo che io debba dimostrare un teorema dove due affermazioni $A$ e $B$ sono legate con la doppia implicazione $A harr B$. Ora, per dimostrare ciò io generalmente prendo vero per ipotesi $A$ e dimostro che $A rarr B$ poi faccio, il viceversa, ovvero prendo vero per ipotesi $B$ e dimostro che $B rarr A$.
Il dubbio che mi è venuto è il seguente: è possibile, invece di fare il passaggio $B rarr A$, dimostrare che la negazione di $A$ implica la negazione di $B$? Ovvero, dimostrando che $A rarr B$ e $\bar A rarr \bar B$ (con $\bar A$ negazione di $A$) ho dimostrato la doppia implicazione? O, ancora, $\bar A rarr \bar B$ e $B rarr A$ sono due implicazioni equivalenti, in questo caso?
Supponiamo che io debba dimostrare un teorema dove due affermazioni $A$ e $B$ sono legate con la doppia implicazione $A harr B$. Ora, per dimostrare ciò io generalmente prendo vero per ipotesi $A$ e dimostro che $A rarr B$ poi faccio, il viceversa, ovvero prendo vero per ipotesi $B$ e dimostro che $B rarr A$.
Il dubbio che mi è venuto è il seguente: è possibile, invece di fare il passaggio $B rarr A$, dimostrare che la negazione di $A$ implica la negazione di $B$? Ovvero, dimostrando che $A rarr B$ e $\bar A rarr \bar B$ (con $\bar A$ negazione di $A$) ho dimostrato la doppia implicazione? O, ancora, $\bar A rarr \bar B$ e $B rarr A$ sono due implicazioni equivalenti, in questo caso?
Risposte
sì.
se $A->B$ è il teorema diretto, $B->A$ è il teorema inverso,
$barA->barB$ è il teorema contrario, ed è equivalente all'inverso,
$barB->barA$ è il teorema controinverso, ed è equivalente al diretto.
puoi anche divertirti con le tavole di verità, però negare la tesi per ottenere la negazione dell'ipotesi corrisponde alla dimostrazione indiretta o per assurdo.
spero sia chiaro. ciao.
se $A->B$ è il teorema diretto, $B->A$ è il teorema inverso,
$barA->barB$ è il teorema contrario, ed è equivalente all'inverso,
$barB->barA$ è il teorema controinverso, ed è equivalente al diretto.
puoi anche divertirti con le tavole di verità, però negare la tesi per ottenere la negazione dell'ipotesi corrisponde alla dimostrazione indiretta o per assurdo.
spero sia chiaro. ciao.
Chiarissimo, grazie.
prego!
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