Dominio fattoriale non principale
Ok abbiamo che se A è dominio a ideali principali allora sicuramente è dominio a fattorizzazione unica.
Considero allora il controesempio
[tex]C[X,Y][/tex] questo è dominio a fattorizzazione unica ma non è dominio principale: il problema è
che non riesco a dimostrarlo!
Per quanto riguarda il fatto che non sia principale so che devo considerare l'ideale
[tex]I= \{ f(x,y) \in C[X,Y] | f(0,0)=0 \}[/tex] ma poi non so come far vedere che non è principale
i.e. che non esiste d tale che [tex]I=[/tex]
Per il fatto che sia dominio fattoriale non so proprio da cosa posso dedurlo...
Grazie per l'attenzione e per eventuali input!
Considero allora il controesempio
[tex]C[X,Y][/tex] questo è dominio a fattorizzazione unica ma non è dominio principale: il problema è
che non riesco a dimostrarlo!
Per quanto riguarda il fatto che non sia principale so che devo considerare l'ideale
[tex]I= \{ f(x,y) \in C[X,Y] | f(0,0)=0 \}[/tex] ma poi non so come far vedere che non è principale
i.e. che non esiste d tale che [tex]I=
Per il fatto che sia dominio fattoriale non so proprio da cosa posso dedurlo...
Grazie per l'attenzione e per eventuali input!
Risposte
Allora, vedere che quel dominio è a fattorizzazione unica, non esattamente la cosa più immediata. Ma ti è stato assegnato come esercizio?!?
Si passa attraverso il seguente teorema:
Teorema. [tex]R[/tex] è un dominio a fattorizzazione unica se e solo se [tex]R[X][/tex] è a fattorizzazione unica.
Per quanto riguarda il fatto che non è un dominio ad ideali principali, invece, è abbastanza facile. Io considererei l'ideale [tex](X,Y)[/tex]. Se per assurdo esistesse [tex]f(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y][/tex] tale che [tex](f(X,Y)) = (X,Y)[/tex] allora avremmo che [tex]f(X,Y) \mid X[/tex] e [tex]f(X,Y) \mid Y[/tex], il che è impossibile (*) a meno che [tex]f(X,Y)[/tex] sia una costante, è questo è assurdo perché [tex](X,Y) \ne \mathbb{C}[X,Y][/tex].
---------------------------------------
(*) Ricorda che [tex]\mathbb{C}[X,Y] := (\mathbb{C}[X])[Y][/tex].
Si passa attraverso il seguente teorema:
Teorema. [tex]R[/tex] è un dominio a fattorizzazione unica se e solo se [tex]R[X][/tex] è a fattorizzazione unica.
Per quanto riguarda il fatto che non è un dominio ad ideali principali, invece, è abbastanza facile. Io considererei l'ideale [tex](X,Y)[/tex]. Se per assurdo esistesse [tex]f(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y][/tex] tale che [tex](f(X,Y)) = (X,Y)[/tex] allora avremmo che [tex]f(X,Y) \mid X[/tex] e [tex]f(X,Y) \mid Y[/tex], il che è impossibile (*) a meno che [tex]f(X,Y)[/tex] sia una costante, è questo è assurdo perché [tex](X,Y) \ne \mathbb{C}[X,Y][/tex].
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(*) Ricorda che [tex]\mathbb{C}[X,Y] := (\mathbb{C}[X])[Y][/tex].
Sì è dato come esercizio, in generale è stato esibito durante il corso come controesempio (da dimostrare appunto)
Il teorema l'avevo visto in precedenza, quello che mi sfuggiva era che $C$ fosse a fattorizzazione unica, ora ho visto che in generale qualsiasi campo è a fattorizzazione unica, me lo confermi?
Mi sfugge una cosa nella dimostrazione quando dici $f(X,Y)=(X,Y)$ non capisco se parli di $(X,Y)$ come ideale o come
coppia di valori
Il teorema l'avevo visto in precedenza, quello che mi sfuggiva era che $C$ fosse a fattorizzazione unica, ora ho visto che in generale qualsiasi campo è a fattorizzazione unica, me lo confermi?
Mi sfugge una cosa nella dimostrazione quando dici $f(X,Y)=(X,Y)$ non capisco se parli di $(X,Y)$ come ideale o come
coppia di valori
Ho editato. Adesso dovrebbe essere più chiaro.
Penso di aver capito, grazie mille per aver ritoccato la notazione!
Quando dici [tex](X,Y) \ne C(X,Y)[/tex] questo è vero perchè nell'ideale non ci sono ad esempio i termini noti, le costanti?
Quando dici [tex](X,Y) \ne C(X,Y)[/tex] questo è vero perchè nell'ideale non ci sono ad esempio i termini noti, le costanti?
Esattamente.
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