Dominio d'integrità o Campo.
Si consideri il seguente anello : $ZxZ$ con l'addizione e la moltiplicazione definite da
- $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$
- $(a,b)*(c,d) = (ac, bd)$
Stabilire se esso è un Dominio d'Integrita o un campo. Ho svolto l'esercizio in questa maniera. Verifico subito se si tratta di un campo. Allora esistono un elemento inverso e un elemento neutro.
Inverso.
$(a,b)*(c,d) = (a,b) <=> (c,d)=(1,1)$ allora
$(ac,bd)=(1,1)$ $\{(ac=1),(bd=1):} => \{(c=1/a=a^(-1)),(d=1/b=b^(-1)):}$ Quindi ammette un elemento non nullo inverso.
Neutro.
$(a,b)+(c,d) = (a,b) <=> (c,d)=(0,0)$ allora
$(a+c,b+d)=(0,0)$ $\{(a+c=0),(b+d=0):} => \{(c=-a),(d=-b):}$ Quindi ammette un elemento neutro
La prima domanda è "Se lo svolgimento è corretto, posso dire che questo anello è un campo? o devo verificare altre proprietà?" Un grazie anticipato.
- $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$
- $(a,b)*(c,d) = (ac, bd)$
Stabilire se esso è un Dominio d'Integrita o un campo. Ho svolto l'esercizio in questa maniera. Verifico subito se si tratta di un campo. Allora esistono un elemento inverso e un elemento neutro.
Inverso.
$(a,b)*(c,d) = (a,b) <=> (c,d)=(1,1)$ allora
$(ac,bd)=(1,1)$ $\{(ac=1),(bd=1):} => \{(c=1/a=a^(-1)),(d=1/b=b^(-1)):}$ Quindi ammette un elemento non nullo inverso.
Neutro.
$(a,b)+(c,d) = (a,b) <=> (c,d)=(0,0)$ allora
$(a+c,b+d)=(0,0)$ $\{(a+c=0),(b+d=0):} => \{(c=-a),(d=-b):}$ Quindi ammette un elemento neutro
La prima domanda è "Se lo svolgimento è corretto, posso dire che questo anello è un campo? o devo verificare altre proprietà?" Un grazie anticipato.
Risposte
Prova a fare due riflessioni:
1. Gli elementi (1,0) e (0,1) sono diversi da zero. Qual e' il loro prodotto?
2. L'elemento (1,0) e' diverso da zero. Ammette un inverso moltiplicativo?
1. Gli elementi (1,0) e (0,1) sono diversi da zero. Qual e' il loro prodotto?
2. L'elemento (1,0) e' diverso da zero. Ammette un inverso moltiplicativo?
1. il loro prodotto è $(0,0)$
2. Si ammette inverso ed è proprio $(1,0)$
Scusa la mia ignoranza ma non capisco dove mi vuoi far arrivare.
2. Si ammette inverso ed è proprio $(1,0)$
Scusa la mia ignoranza ma non capisco dove mi vuoi far arrivare.
"Piccolo Fermat":
1. il loro prodotto è $(0,0)$
E' tutto scritto qui: hai trovato due elementi non nulli (le coppie (1,0) e (0,1)) tali che il loro prodotto è nullo: sono cioè dei divisori dello ...
Che cosa concludi?
Ah, dimenticavo: sicuro che $(1,0)(1,0)=(1,1)$? Io no...
Ricorda che l'elemento neutro rispetto al prodotto nell'anello $ZZxxZZ$ è la coppia (1,1).
Ricorda che l'elemento neutro rispetto al prodotto nell'anello $ZZxxZZ$ è la coppia (1,1).
infatti, ora è tutto più chiaro, non si tratta ne di Dominio d'integrità, ne di un campo. Giusto? scusate ma sto studiando questo argomento totalmente da solo e ho diverse lacune, meno male che ci siete voi ad aiutarmi.
Esatto. Ti faccio notare che ogni campo è un dominio (e, se ricordo bene, sul finito vale anche il viceversa). Puoi provare a dimostrarlo se vuoi, non è difficile.
In ogni caso, quando hai trovato uno zero divisore sei a posto: la struttura non è un dominio, perciò non può essere nemmeno un campo.
Buono studio e se hai ancora bisogno siamo qua.
In ogni caso, quando hai trovato uno zero divisore sei a posto: la struttura non è un dominio, perciò non può essere nemmeno un campo.
Buono studio e se hai ancora bisogno siamo qua.
Ti ringrazio veramente.
Figurati, è un piacere.
Vedo che si e' concluso tutto bene 
"Paolo90":Si', ogni dominio di integrita' finito e' un campo. Se vogliamo e' una conseguenza del principio dei cassetti
ogni campo è un dominio (e, se ricordo bene, sul finito vale anche il viceversa).
"Martino":Si', ogni dominio di integrita' finito e' un campo. Se vogliamo e' una conseguenza del principio dei cassetti
Vedo che si e' concluso tutto bene
[quote="Paolo90"]ogni campo è un dominio (e, se ricordo bene, sul finito vale anche il viceversa).
[/quote]Ma va? stai scherzando, caro Martino? Bella cosa, davvero. Non lo sapevo.
Sono andato a cercarmi la dimostrazione su un libro di algebra che ho qui a casa (a lezione non l'abbiamo vista questa cosa) e non mi pare faccia uso "esplicito" del principio dei cassetti. Certo, sfrutta l'iniettività di una certa funzione, per cui forse è proprio quello che intendevi tu.
In ogni caso, se non ti è di troppo disturbo, ti dispiacerebbe dirmi qual è l'idea alla base di questa dimostrazione? Mi basta lo spunto, poi la scrivo io...
GRAZIE come al solito.
La dico io, la dico io!
Prendi $D$ dominio di integrità finito, diciamo $D={0, 1, d_1, ..., d_n}$. Per ogni $i=1...n$ definisci una applicazione $tau_i(d)=d_i*d$. Questo è un omomorfismo del gruppo additivo $(D, +)$ in sé, ed è ingettivo perché $"ker"(tau_i)=$[tex]\langle0\rangle[/tex], come consegue dal fatto che $D$ è un dominio di integrità. Ma (ed ecco che arriva il principio dei cassetti, a.k.a. pigeonhole principle, come dicono gli Ammericans) una applicazione ingettiva da un insieme finito in sé è automaticamente pure surgettiva (*). Consegue che per ogni $i$ deve esistere un $d$ tale che $tau_i(d)=1$, ovvero $d_i$ è un elemento invertibile a destra. Rifai tutto allo specchio e trovi l'elemento invertibile pure a sinistra, se il dominio non è commutativo.
P.S.: Stai studiando algebra lineare? Se sì, prima o poi arriverai ad un teorema secondo cui una applicazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita in sé è ingettiva se e solo se è surgettiva. Allora ti verrà in mente il punto (*) di questa dimostrazione.
... scusate per l'irruzione.
Prendi $D$ dominio di integrità finito, diciamo $D={0, 1, d_1, ..., d_n}$. Per ogni $i=1...n$ definisci una applicazione $tau_i(d)=d_i*d$. Questo è un omomorfismo del gruppo additivo $(D, +)$ in sé, ed è ingettivo perché $"ker"(tau_i)=$[tex]\langle0\rangle[/tex], come consegue dal fatto che $D$ è un dominio di integrità. Ma (ed ecco che arriva il principio dei cassetti, a.k.a. pigeonhole principle, come dicono gli Ammericans) una applicazione ingettiva da un insieme finito in sé è automaticamente pure surgettiva (*). Consegue che per ogni $i$ deve esistere un $d$ tale che $tau_i(d)=1$, ovvero $d_i$ è un elemento invertibile a destra. Rifai tutto allo specchio e trovi l'elemento invertibile pure a sinistra, se il dominio non è commutativo.
P.S.: Stai studiando algebra lineare? Se sì, prima o poi arriverai ad un teorema secondo cui una applicazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita in sé è ingettiva se e solo se è surgettiva. Allora ti verrà in mente il punto (*) di questa dimostrazione.
... scusate per l'irruzione.
Wow... figo 
.
Grazie Dissonance, veramente. La dimostrazione mi è in generale chiara; anche quel passaggio (*) (nonostante io non stia ancora studiando algebra lineare, II semestre
) direi che è abbastanza chiaro: alla fine la stessa cosa vale per le funzioni. Se ho una funzione $A->A$ essa è iniettiva se e solo se è surgettiva (ed è anche "ovvio" ad occhio: forse dimostrarlo formalmente non è così uno scherzo). Insomma, è il pigeonhole.
Ti ringrazio molto per avermi permesso di approfondire una cosa che a lezione non avevo affatto visto.
GRAZIE mille per il tuo aiuto.
. Grazie Dissonance, veramente. La dimostrazione mi è in generale chiara; anche quel passaggio (*) (nonostante io non stia ancora studiando algebra lineare, II semestre
) direi che è abbastanza chiaro: alla fine la stessa cosa vale per le funzioni. Se ho una funzione $A->A$ essa è iniettiva se e solo se è surgettiva (ed è anche "ovvio" ad occhio: forse dimostrarlo formalmente non è così uno scherzo). Insomma, è il pigeonhole. Ti ringrazio molto per avermi permesso di approfondire una cosa che a lezione non avevo affatto visto.
GRAZIE mille per il tuo aiuto.
Sì, cioè in pratica se hai tanti calzini quanti cassetti e metti al più un calzino in ogni cassetto allora ne metti esattamente uno in ogni cassetto.
Questo risultato (quello del dominio di integrità finito) mi ricorda un teorema che è un po' più profondo, chiamato teorema di Wedderburn: ogni corpo finito è commutativo. Mi piace perché la dimostrazione che conosco io usa l'equazione delle classi
Questo risultato (quello del dominio di integrità finito) mi ricorda un teorema che è un po' più profondo, chiamato teorema di Wedderburn: ogni corpo finito è commutativo. Mi piace perché la dimostrazione che conosco io usa l'equazione delle classi
In pratica, Wedderburn ti dice che, sul finito, ogni corpo è un campo.
Giusto? Bello anche questo, anche se non penso di aver strumenti adatti per comprenderlo... chissà che cos'è l'equazione delle classi...
GRAZIE per i tuoi interventi sempre interessanti.
Giusto? Bello anche questo, anche se non penso di aver strumenti adatti per comprenderlo... chissà che cos'è l'equazione delle classi...
GRAZIE per i tuoi interventi sempre interessanti.
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