Dominio d'integrità + gruppi ciclici
ciao a tutti! avete presente quando vi pare di essere sufficientemente prearati per un esame e la mattina prima trovate un esercizio dal quale non venite fuori e vi fa crollare tutte le vostre certezze?
L'esercizio è:
Sia D dominio d'integrità tale che ogni elemento in D non nullo e non invertibile è irriducibile. Si dimostri D campo.
Io continuo a girare intorno al fatto che se x è irriducibile e x=bc, allora b invertibile o c invertibile...
ma non arrivo da nessuna parte..
Grazie in anticipo per l'aiuto (spero!)
L'esercizio è:
Sia D dominio d'integrità tale che ogni elemento in D non nullo e non invertibile è irriducibile. Si dimostri D campo.
Io continuo a girare intorno al fatto che se x è irriducibile e x=bc, allora b invertibile o c invertibile...
ma non arrivo da nessuna parte..
Grazie in anticipo per l'aiuto (spero!)
Risposte
Ciao!
Devi giuocare sul fatto che un arbitrario prodotto di elementi di D non invertibili è forzatamente irriducibile:
se $a$ è un elemento di $D$ non nullo e non invertibile, allora $a^2$ è non nullo (perché D dominio) e non invertibile (altrimenti da $a^2b=1$ segue che $ab$ è l'inverso di $a$, assurdo), quindi $a^2$ è irriducibile, quindi uno tra $a$ ed $a$ è invertibile, ovvero $a$ è invertibile. Assurdo.
Devi giuocare sul fatto che un arbitrario prodotto di elementi di D non invertibili è forzatamente irriducibile:
se $a$ è un elemento di $D$ non nullo e non invertibile, allora $a^2$ è non nullo (perché D dominio) e non invertibile (altrimenti da $a^2b=1$ segue che $ab$ è l'inverso di $a$, assurdo), quindi $a^2$ è irriducibile, quindi uno tra $a$ ed $a$ è invertibile, ovvero $a$ è invertibile. Assurdo.
Ok, mi torna...grazie!
Approfitto per proporre un altro esercizio (ormai sono nel panico dell'ultim'ora..
Sia C un gruppo ciclico e A e B due suoi sottogruppi.
Consideriamo la seguente proprietà:
(P) se $ AnnB = {e}$ allora $A={e}$ o $B={e}$
Provare che:
a) se C è infinito allora P è vera
b) se C è finito di ordine 27 allora P è vera
c) se C è finito di ordine 15 allora P è falsa
allora, già da come è posto l'esercizio direi che la chiave è l'ordine del gruppo, se è un numero primo o una sua potenza, oppure se non lo è..credo di intuire che se non lo è, nell'intersezione possono starci (nel caso di quindici, anche $x^3 $e $x^5$ )
Tuttavia non so davvero come formalizzare la cosa, (tantomeno riesco a provare se la mia idea è corretta...)
Chi riesce a far luce sulla faccenda?
grazie grazie..
Approfitto per proporre un altro esercizio (ormai sono nel panico dell'ultim'ora..
Sia C un gruppo ciclico e A e B due suoi sottogruppi.
Consideriamo la seguente proprietà:
(P) se $ AnnB = {e}$ allora $A={e}$ o $B={e}$
Provare che:
a) se C è infinito allora P è vera
b) se C è finito di ordine 27 allora P è vera
c) se C è finito di ordine 15 allora P è falsa
allora, già da come è posto l'esercizio direi che la chiave è l'ordine del gruppo, se è un numero primo o una sua potenza, oppure se non lo è..credo di intuire che se non lo è, nell'intersezione possono starci (nel caso di quindici, anche $x^3 $e $x^5$ )
Tuttavia non so davvero come formalizzare la cosa, (tantomeno riesco a provare se la mia idea è corretta...)
Chi riesce a far luce sulla faccenda?
grazie grazie..
Un gruppo ciclico infinito è isomorfo a $ZZ$. E in $ZZ$ due sottogruppi non banali hanno intersezione non banale (se $nZZ$ e $mZZ$ sono due sottogruppi allora $mn in nZZ nn mZZ$). Questo è il caso a).
Per il caso b), hai $ZZ//27ZZ$. Gli unici sottogruppi sono $ZZ//27ZZ$ (di ordine 27), $3ZZ//27ZZ$ (di ordine 9), $9ZZ//27ZZ$ (di ordine 3) e $0$ (di ordine 1). Essi sono ordinati come segue:
$0 subset 9ZZ//27ZZ subset 3ZZ//27ZZ subset ZZ//27ZZ$
Ed è chiaro che se i sottogruppi sono totalmente ordinati, la (P) è vera.
Per il caso c), hai $ZZ//15ZZ$. Per mostrare che (P) è falsa basta trovare due sottogruppi non banali di intersezione banale. Prendi $5ZZ//15ZZ$ (l'unico sottogruppo di ordine 3) e $3ZZ//15ZZ$ (l'unico sottogruppo di ordine 5). La loro intersezione è formata dalle classi modulo 15 divisibili per 3 e per 5, e l'unica classe siffatta è la classe di zero.
Per il caso b), hai $ZZ//27ZZ$. Gli unici sottogruppi sono $ZZ//27ZZ$ (di ordine 27), $3ZZ//27ZZ$ (di ordine 9), $9ZZ//27ZZ$ (di ordine 3) e $0$ (di ordine 1). Essi sono ordinati come segue:
$0 subset 9ZZ//27ZZ subset 3ZZ//27ZZ subset ZZ//27ZZ$
Ed è chiaro che se i sottogruppi sono totalmente ordinati, la (P) è vera.
Per il caso c), hai $ZZ//15ZZ$. Per mostrare che (P) è falsa basta trovare due sottogruppi non banali di intersezione banale. Prendi $5ZZ//15ZZ$ (l'unico sottogruppo di ordine 3) e $3ZZ//15ZZ$ (l'unico sottogruppo di ordine 5). La loro intersezione è formata dalle classi modulo 15 divisibili per 3 e per 5, e l'unica classe siffatta è la classe di zero.
grazie mille!
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