Dominio a ideali principali nZ

[giangianni1]

Ciao a tutti, c'è un discorso letto dagli appunti del professore che non comprendo molto bene ed è il seguente.

Dice che $ZZ$ è un PID e fa un esempio di ideale generato da due elementi

$(a,b)=aZZ+bZZ=nZZ$ per ogni a,b n in Z. Vuole trovare tale n

Dice quindi: (numero i dubbi 1 e 2)

(1) $aZZ⊆nZZ => n|a, bZZ⊆nZZ => n|b$

Ma questo non mi torna perché quel che devo mostrare è in pratica che:
$(x in aZZ => x in nZZ)=>n|a$ ossia

$(x=az => x=nz')=>nq=a$ con z,z',q che esistano, dunque dalle hp $az=nz'$ <=> $a|nz'$
e giungo a $a|n$ solo se MCD(a,z')=1 (Lemma euclide), non mi sembra quindi generalmente vero che a|n

Proseguendo dice: n divisore comune di a e b => n|MCD(a,b)

(2) Sia quindi $c in ZZ$ t.c. $c|a e c|b => c|az_1+bz_2$ per ogni z1 z2 => c divide anche $n=as+bt$ per qualche s, t => n=MCD(a,b)

Anche questo secondo ragionamento non l'ho ben capito, infatti in realtà nessuno vieta di scrivere $c=as'+bt'$ e per i ragionamneti sopra anche n|c quindi se tanto di dà tanto questo implicherebbe che c=MCD(a,b), non ho proprio capito cosa vuole fare.

Spero in qualche aiuto e ringrazio

[hydro1]

(1) occhio ai quantificatori. $a\mathbb Z\subseteq n\mathbb Z$ significa che per ogni $x\in \mathbb Z$ si ha che $ax \in n\mathbb Z$. In particolare, questo è vero per $x=1$.

(2) il fatto che $c$ divida sia $a$ che $b$ certamente non ti dà diritto di scrivere $c$ come combinazione lineare di $a$ e $b$. Pensa per esempio al caso $c=2$, $b=4$ e $a=8$.

[giangianni1]

Ciao hydro, grazie per la tua risposta fulminea.

(1) Non riesco ancora a capire bene, in teoria esplicitamente non dovrebbe essere:

$∀x(x∈aZZ⇒x∈nZZ)⇒n∣a$ quindi: $∀x in ZZ ∃x'inZZ t.c. x=ax'$, il fatto che $⇒x∈nZZ$ vuol dire che (esistendo un x' per ogni x): $∀ax' in ZZ ∃x''inZZ t.c. ax'=nx''$?

(2) in effetti qui son stato fuorviato dall'intendere la scrittura $n=as+bt$ possibile in quanto n|a e n|b e quindi dicevo se tanto mi dà tanto vale anche per c, in realtà ciò che mi garantisce sia possibile scrivere ciò è (credo) $aZZ+bZZ=nZZ$ scegliendo n*z=n*1. Non ci avevo riposto la giusta attenzione.

[hydro1]

Stai facendo una gran confusione per nulla. Scrivere che $a\mathbb Z\subseteq n\mathbb Z$ significa che per ogni $x$ esiste $x'$ tale che $ax=ax'$. Adesso scegli $x=1$. Hai che esiste $x'$ tale che $a=nx'$, e quindi $n|a$.

[giangianni1]

"hydro":significa che per ogni $x$ esiste $x'$ tale che $ax=ax'$

(credo ci sia un refuso, credo sia $ax=nx'$?)

Se così fosse è in effetti è quello che scrivevo all'inizio (primo mex):

$(x=az => x=nz')$ con z,z',q che esistano, dunque dalle hp $az=nz'$

[Edito castronerie]
hai ragione ti ringrazio.

[alboos]

Scusate una domanda, stavo leggendo il discorso avendo un esercizio assai simile. ma questa uguaglianza non mi torna:

"hydro":Scrivere che $a\mathbb Z\subseteq n\mathbb Z$ significa che [...] $ax=nx'$.

Infatti non mi sembra vero che preso un x' ci sia per forza un x che la rende vera partendo da $a\mathbb Z\subseteq n\mathbb Z$. Sbaglio?

[hydro1]

"alboos":Scusate una domanda, stavo leggendo il discorso avendo un esercizio assai simile. ma questa uguaglianza non mi torna:
[quote="hydro"]Scrivere che $a\mathbb Z\subseteq n\mathbb Z$ significa che [...] $ax=nx'$.

Infatti non mi sembra vero che preso un x' ci sia per forza un x che la rende vera partendo da $a\mathbb Z\subseteq n\mathbb Z$. Sbaglio?[/quote]

Certo che non è vero, hai invertito i quantificatori.

[alboos]

Già che scemo, ho detto una cavolatissima
Grazie.