Domini Euclidei

[texwiller4ever]

Ciao a tutti!
E' il mio primo post, speriamo che qualcuno risponda!
Avrei bisogno di un aiuto/suggerimento per un esercizio, visto che non riesco neanche a partire:

" Sia D un dominio euclideo con funzione associata f. Siano A e B elementi del dominio diversi da 0. Si dimostri che se f(A)=f(AB), allora B è invertibile."

Ogni suggerimenti è più che gradito!

Grazie

[blackbishop13]

ciao e benvenut* nel forum!

come saprai non risolviamo gli esercizi ma siamo ben disposti a darti una mano, quindi io se ti va ti guiderei fino alla soluzione:

partiamo dalla base: cos'è un dominio euclideo? in particolare che proprietà ha la funzione f che rende D dominio eculideo, lo sai?

[texwiller4ever]

"blackbishop13":ciao e benvenut* nel forum!

come saprai non risolviamo gli esercizi ma siamo ben disposti a darti una mano, quindi io se ti va ti guiderei fino alla soluzione:

partiamo dalla base: cos'è un dominio euclideo? in particolare che proprietà ha la funzione f che rende D dominio eculideo, lo sai?

Perfetto! Sì, conosco le regole e le condivido in pieno! Indi accetto più che volentieri il tuo aiuto.

Un dominio euclideo è un dominio di integrità munito di una funzione f con le seguenti proprietà:
- se A e B sono diversi da 0, f(A)<=f(AB);
- se B diverso da zero, ---> Esistono Q, R t.c. A=BQ+R e t.c. R=0 o f(R)
Fin qui ci sono. Ho provato a scrivere A nella forma n°2 (visto che ho B!=0) e vedere il caso R=0 e f(R) Allora ho provato a dimostrare che B invertibile implica f(A)=f(AB), ma anche questa strada si ferma dopo pochi passi. Mi consigli la prima, la seconda o nessuna delle due?

[texwiller4ever]

"texwiller4ever":[quote="blackbishop13"]ciao e benvenut* nel forum!

come saprai non risolviamo gli esercizi ma siamo ben disposti a darti una mano, quindi io se ti va ti guiderei fino alla soluzione:

partiamo dalla base: cos'è un dominio euclideo? in particolare che proprietà ha la funzione f che rende D dominio eculideo, lo sai?

Perfetto! Sì, conosco le regole e le condivido in pieno! Indi accetto più che volentieri il tuo aiuto.

Un dominio euclideo è un dominio di integrità munito di una funzione f con le seguenti proprietà:
- se A e B sono diversi da 0, f(A)<=f(AB);
- se B diverso da zero, ---> Esistono Q, R t.c. A=BQ+R e t.c. R=0 o f(R)
Fin qui ci sono. Ho provato a scrivere A nella forma n°2 (visto che ho B!=0) e vedere il caso R=0 e f(R) Allora ho provato a dimostrare che B invertibile implica f(A)=f(AB), ma anche questa strada si ferma dopo pochi passi. Mi consigli la prima, la seconda o nessuna delle due?[/quote]

Un momento, forse ci sono:

avevo dimostrato precedentemente che se f(A)=f(B) e B appartiene a (A) [gruppo generato da A], allora (B)=(A).
Ora dovrei essere nelle medesime condizioni:
- f(A)=f(AB) per ipotesi;
- AB appartiene a (A) per definizione di (A);
allora (AB)=(A); inoltre so che A appartiene ad (A), indi deve appartenere a (AB), intanto deve esistere un Q t.c. ABQ=A, che diventa A(BQ-1)=0; sapendo che A!=0 e che siamo in un dominio di integrità, BQ=1 allora abbiam trovato l'elemento Q che rende B invertibile!

Può andare come ragionamento?

[blackbishop13]

sì può andare.
in pratica quello che vuol dire sia il risultato che hai riportato, sia l'esercizio che hai risolto è che se due lementi hanno lo stesso grado, allora sono uguali a meno di moltiplicazione per un elemento invertibile.

adesso prova a dimostrare anche il viceversa dell' esercizio, è molto simile.

P.S. scrivi le formule come da regolamento per favore!