Domande sui gruppi e sugli omomorfismi

[fransis2]

io ho S(n) che è il gruppo delle permutazioni di n elementi:
1) come dimostro che gli unici sottogruppi normali di S(3) possono essere solo l'insieme costituito solo dall'identità, <(123)>, S(3) stesso?
2) quali sono i sottogruppi normali di S(n) in genere?
3) è vero che gli omorfismi da S(3) in Z/nZ sono f(x)=0 per ogni x se n dispari; f(x)=0 se x appartiene all'insieme <(123)> e f(x)=n/2 se x è uno di questi elementi: (12); (13); (23)?
4) come si trovano in genere gli omomorfismi da S(m) in Z/nZ?
5) domanda di notazione: se io applico (123) vuol dire che f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1 oppure che f(1)=3, f(2)=1, f(3)=2? (cioè nel posto in cui c'è l'elemento vi si mette l'elemento che sta alla destra di quell'elemento nell'apllicazione (123) oppure ogni elemento viene scambiato con quello che sta alla prorpria destra nell'applicazione (123)?) ...non so se è chiara la domanda...

[vict85]

"fransis2": io ho S(n) che è il gruppo delle permutazioni di n elementi:
1) come dimostro che gli unici sottogruppi normali di S(3) possono essere solo l'insieme costituito solo dall'identità, <(123)>, S(3) stesso?

Poniamo per assurdo che esista un $N != A_3$ che sia normale in $S_3$. Questo dovrebbe essere un qualche $<(a, b)>$.
Ma $(a, c)(a, b)(a, c)^-1 = (b, c) !in <(a, b)>$. Data la generalità dell'elemento che ho preso nessun elemento di ordine due è normale in $S_3$

"fransis2":
2) quali sono i sottogruppi normali di S(n) in genere?

Per $S_n$ $n != 4$ sono ${1}$, $A_n$ e $S_n$. Per $S_4$ ci sono $A_4$ e il gruppo di Klein (elementi della forma $(a, b)(c, d)$) che è normale anche in $A_4$. La dimostrazione è lunga.
Ridotta si dimostra prima che $A_n$ è semplice per $n>= 5$ dicendo che ogni sottogruppo normale dovrebbe avere tutti i cicli di $3$ elementi e quindi tutto $A_n$. Dopo di che usa un teorema sull'omomorfismo che dice che dato $H<=G$ e $N$ sottogruppo normale di $G$ si ha che $NnnH$ è normale in $H$. Quindi se esistesse un $N$ normale in $S_n$ $NnnA_n$ sarebbe normale in $A_n$ ma questo non è possibile (cioé $N$ è uguale a ${1}$ o $A_n$).

"fransis2":
3) è vero che gli omorfismi da S(3) in Z/nZ sono f(x)=0 per ogni x se n dispari; f(x)=0 se x appartiene all'insieme <(123)> e f(x)=n/2 se x è uno di questi elementi: (12); (13); (23)?

Il nucleo di ogni omomorfismo è un sottogruppo normale. Ma in $S_3$ ci sono solamente $3$ sottogruppi normali: ${1}$, $A_3$ e $S_3$.
Necessariamente si ha

$ker(mu) = {1}$
$mu : S_3 -> S_3$ e cioé la funzione identità.

$ker(mu) = S_3$
$mu : S_3 -> {1}$ e cioé una funzione costante.

$ker(mu) = A_3$
$mu : S_3 -> C_2$ e cioé al gruppo ciclico di ordine 2 (in pratica la funzione pari/dispari)

$ZZ//nZZ$ è isomorfo a $C_n$.

Preso un $g$ tale che $C_(2n) = $ abbiamo che $$ è isomorfo a $C_2$. Quindi si può creare un isomorfismo $beta : S_3 -> sub C_(2n)$ il cui nucleo è $A_3$ e in cui $f(A_3) = 1$ e $f(S_3//A_3) = g^n$ (che è quello che volevi anche se in notazione moltiplicativa e con n raddoppiato).
Con $C_(2n+1)$ questo non è possibile quindi l'unica scelta è un isomorfismo $beta : S_3 -> {1} sub C_(2n+1)$ con nucleo $S_3$.

"fransis2":
4) come si trovano in genere gli omomorfismi da S(m) in Z/nZ?

Esattamente come ho fatto prima con il caso $3$ (sono gli stessi)

Solo una aggiunta: nel caso $S_4$ c'é il gruppo di Klein che è normale. Abbiamo quindi che:

$ker(mu) = V$ (gruppo di Klein)
$mu : S_4 -> S_3$

"fransis2":
5) domanda di notazione: se io applico (123) vuol dire che f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1 oppure che f(1)=3, f(2)=1, f(3)=2? (cioè nel posto in cui c'è l'elemento vi si mette l'elemento che sta alla destra di quell'elemento nell'apllicazione (123) oppure ogni elemento viene scambiato con quello che sta alla prorpria destra nell'applicazione (123)?) ...non so se è chiara la domanda...

Essendo un ciclo e non una permutazione $(1, 2, 3)$ o anche $(123)$ va letta come $1->2->3->1$ e cioé $f(1)=2$, $f(2)=3$, $f(3)=1$. Una sua suddivisione in scambi è $(123)=(13)(12)$ e in generale $(123...n) = (1, n)(1, n-1)...(13)(12)$

[fransis2]

"vict85":
$ker(mu) = {1}$
$mu : S_3 -> S_3$ e cioé la funzione identità.

ma questo vuol dire che non esiste un omomorfismo da S3 in Z/nZ con $ker(mu) = {1}$ perchè se f:G - > G' è un omomorfismo allora f(G)

"vict85":
$ker(mu) = S_3$
$mu : S_3 -> {1}$ e cioé una funzione costante.

in particolare f(x)=e dove e è l'elemento neutro di G', vero?

"fransis2":
4) come si trovano in genere gli omomorfismi da S(m) in Z/nZ?

"vict85":

Esattamente come ho fatto prima con il caso $3$ (sono gli stessi)

ma se Ker(mu)=An come si esplicita f(x)?. In questo caso abbiamo che ci sono $((2n)!)/(n(n-1)(n-2))$ classi laterali del Ker, vero? e come facciamo a eslicitare in quale elemento di Z/nZ viene mandata ogni singola classe laterale?

"vict85":
Solo una aggiunta: nel caso $S_4$ c'é il gruppo di Klein che è normale. Abbiamo quindi che:
$ker(mu) = V$ (gruppo di Klein)
$mu : S_4 -> S_3$

ma quindi anche questa volta non esiste un omomorfismo da S3 in Z/nZ che abbia $Ker(f)=V$ per lo stesso motivo di prima, vero?

[vict85]

"fransis2":
ma questo vuol dire che non esiste un omomorfismo da S3 in Z/nZ con $ker(mu) = {1}$ perchè se f:G - > G' è un omomorfismo allora f(G)

Sì, esattamente perché $S_3$ non è ciclico (non è neanche abeliano a dire il vero).

"fransis2":
in particolare f(x)=e dove e è l'elemento neutro di G', vero?

Tutto sommato solo questa...
Poniamo che non sia così. Cioé che $f(x) = g$
Allora avremo che $g = f(x) = f(ex) = (e)f(x) = gg = g^2$. Che è un controsenso se $g!=e$.
Devo dire che con funzione costante non mi sono espresso bene. Ma il fatto è che in un omomorfismo $f(e) = e$.

"fransis2":
ma se Ker(mu)=An come si esplicita f(x)?. In questo caso abbiamo che ci sono $((2n)!)/(n(n-1)(n-2))$ classi laterali del Ker, vero? e come facciamo a eslicitare in quale elemento di Z/nZ viene mandata ogni singola classe laterale?

No, sempre e soltanto 2. Questo vale per qualsiasi $S_n$, il farlo per $S_3$ era soltanto per non avere 2 indici. Il numero dei laterali è $[S_n\ :\ A_n]\ =\ |S_n|/|A_n| = 2$ per qualsiasi n. E' questo il motivo per cui $A_n$ è sempre normale in $S_n$.
La funzione è sempre $mu: S_n -> C_2$.

"fransis2":
ma quindi anche questa volta non esiste un omomorfismo da S3 in Z/nZ che abbia $Ker(f)=V$ per lo stesso motivo di prima, vero?

Sì, tieni comunque presente che $C_n sub S_n$.

[fransis2]

"vict85": [quote="fransis2"]
ma se Ker(mu)=An come si esplicita f(x)?. In questo caso abbiamo che ci sono $((2n)!)/(n(n-1)(n-2))$ classi laterali del Ker, vero? e come facciamo a eslicitare in quale elemento di Z/nZ viene mandata ogni singola classe laterale?

No, sempre e soltanto 2. Questo vale per qualsiasi $S_n$, il farlo per $S_3$ era soltanto per non avere 2 indici. Il numero dei laterali è $[S_n\ :\ A_n]\ =\ |S_n|/|A_n| = 2$ per qualsiasi n. E' questo il motivo per cui $A_n$ è sempre normale in $S_n$.
La funzione è sempre $mu: S_n -> C_2$. [/quote]

Scusa, ma forse con $A_n$ intendiamo cose diverse. $A_n$ non è il gruppo dei cicli di tre elementi (quelli del tipo $(abc)$ per intenderci)? perchè in tal caso
$|S_n|=n!$, $|A_n|=2n(n-1)(n-2)/6$ cioè il numero d cicli di tre elementi presi dagli n moltiplicato per 2 perchè per ogni $(abc)$ c'è anche $(acb)$, o sbaglio?

[fransis2]

scusa ancora se ti rompo ma qui mi sono perso dei passaggi...

"fransis2":
2) quali sono i sottogruppi normali di S(n) in genere?

"vict85":
Per $S_n$ $n != 4$ sono ${1}$, $A_n$ e $S_n$. Per $S_4$ ci sono $A_4$ e il gruppo di Klein (elementi della forma $(a, b)(c, d)$) che è normale anche in $A_4$. La dimostrazione è lunga.
Ridotta si dimostra prima che $A_n$ è semplice per $n>= 5$

innanzitutto cosa significa semplice?

"vict85":dicendo che ogni sottogruppo normale dovrebbe avere tutti i cicli di $3$ elementi e quindi tutto $A_n$.

e perchè questo?

"vict85":Dopo di che usa un teorema sull'omomorfismo che dice che dato $H<=G$ e $N$ sottogruppo normale di $G$ si ha che $NnnH$ è normale in $H$..

tra l'altro se me lo dimostrassi questo ti sarei grato perchè è un esercizio che ha messo il prof su un compito e non mi riesce...

"vict85":Quindi se esistesse un $N$ normale in $S_n$ $NnnA_n$ sarebbe normale in $A_n$ ma questo non è possibile (cioé $N$ è uguale a ${1}$ o $A_n$)..

ma questo è impossibile perchè ogni sottoinsieme di $A_n$ non può essere un gruppo perchè se contiene un elemneto di $A_n$ dovrebbe contenere ogni elemento di $A_n$?
e per $S_4$ invece come si procede?
grazie di tutto...

[vict85]

"fransis2":[quote="vict85"] [quote="fransis2"]
ma se Ker(mu)=An come si esplicita f(x)?. In questo caso abbiamo che ci sono $((2n)!)/(n(n-1)(n-2))$ classi laterali del Ker, vero? e come facciamo a eslicitare in quale elemento di Z/nZ viene mandata ogni singola classe laterale?

No, sempre e soltanto 2. Questo vale per qualsiasi $S_n$, il farlo per $S_3$ era soltanto per non avere 2 indici. Il numero dei laterali è $[S_n\ :\ A_n]\ =\ |S_n|/|A_n| = 2$ per qualsiasi n. E' questo il motivo per cui $A_n$ è sempre normale in $S_n$.
La funzione è sempre $mu: S_n -> C_2$. [/quote]

Scusa, ma forse con $A_n$ intendiamo cose diverse. $A_n$ non è il gruppo dei cicli di tre elementi (quelli del tipo $(abc)$ per intenderci)? perchè in tal caso
$|S_n|=n!$, $|A_n|=2n(n-1)(n-2)/6$ cioè il numero d cicli di tre elementi presi dagli n moltiplicato per 2 perchè per ogni $(abc)$ c'è anche $(acb)$, o sbaglio?[/quote]

$A_n$ è il gruppo alterno, cioé il gruppo delle permutazioni pari. Il suo ordine è $(n!)/2$. Si può dimostrare che, ad eccezione di $n=4$ esso si può considerare come formato da 3-cicli.
Per esempio (12345) è pari e fa parte di $A_5$ perché può essere scritto come prodotto di 3-cicli.
(12345) = (145)(123)

Ora come ora non saprei dimostrartelo ma lo trovi su qualche dispensa o libro.

[vict85]

"fransis2":scusa ancora se ti rompo ma qui mi sono perso dei passaggi...
innanzitutto cosa significa semplice?

che non possiede sottogruppi normali. E' un concetto che non viene molto visto nei primi corsi ma che è importante. La dimostrazione più lunga della matematica è la classificazione dei gruppi semplici finiti.
http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_semplice

"fransis2":
[quote="vict85"]dicendo che ogni sottogruppo normale dovrebbe avere tutti i cicli di $3$ elementi e quindi tutto $A_n$.

e perchè questo?
[/quote]

Perché se non li avesse tutti non sarebbe normale. C'é un modo per ricavare il minimo sottogruppo normale che contiene un insieme.
$N(B) = { x in G\ |\ xB = Bx }$ è il normalizzatore dell'insieme $B$. $N(B)$ è il minimo sottogruppo normale che include $B$.
In ogni caso credo sia legato alle classi di coniugio di $S_n$.

"fransis2":
[quote="vict85"]Dopo di che usa un teorema sull'omomorfismo che dice che dato $H<=G$ e $N$ sottogruppo normale di $G$ si ha che $NnnH$ è normale in $H$..

tra l'altro se me lo dimostrassi questo ti sarei grato perchè è un esercizio che ha messo il prof su un compito e non mi riesce...
[/quote]

$N$ è un sottogruppo normale quindi $aN = Na$ per qualsiasi $a in G$. In particolare vale $hN = Nh$ per $h in H$. Consideriamo il sottogruppo unione $HN$ (il minimo sottogruppo formato dall'unione di $N$ e $H$). Per l'esattezza $HN$ è nella forma $hn$, $h in H$ $n in N$ perché essendo normale esiste un $n' in N$ tale che $hn = n'h$.
$N$ è normale in $HN$ per le motivazioni scritte sopra.
Prendiamo l'omomorfismo di gruppi

$sigma : H -> G//N$
$h -> hN$
$ker(sigma) = HnnN$

Questo perché solo gli elementi si $HnnN$ sono nel dominio della funzione $sigma$ il resto di $N$ è fuori.

"fransis2":
[quote="vict85"]Quindi se esistesse un $N$ normale in $S_n$ $NnnA_n$ sarebbe normale in $A_n$ ma questo non è possibile (cioé $N$ è uguale a ${1}$ o $A_n$)..

ma questo è impossibile perchè ogni sottoinsieme di $A_n$ non può essere un gruppo perchè se contiene un elemneto di $A_n$ dovrebbe contenere ogni elemento di $A_n$?
e per $S_4$ invece come si procede?
grazie di tutto...[/quote]

Se $A_n$ non può contenere sottogruppi normali non può esistere nessun sottogruppo normale in $S_n$ che non abbia come intersezione con $A_n$ ${1}$ o $A_n$ stesso. Il fatto è che l'insieme degli elementi dispari non è stabile (il quadrato di una permutazione dispari è pari) e quindi se contiene un elemento dispari deve averne almeno uno pari.

In $S_4$ $A_4$ ha un sottogruppo normale che è anche normale in $S_4$.

[fransis2]

"vict85":
Se $A_n$ non può contenere sottogruppi normali non può esistere nessun sottogruppo normale in $S_n$ che non abbia come intersezione con $A_n$ ${1}$ o $A_n$ stesso. Il fatto è che l'insieme degli elementi dispari non è stabile (il quadrato di una permutazione dispari è pari) e quindi se contiene un elemento dispari deve averne almeno uno pari.

non ho capito: noi dobbiamo dimostrare che $A_n$ non ha sottogruppi normali mentre tu hai fatto notare che se un gruppo contiene una permutazione dispari allora contiene anche una permutazione pari... cosa c'entrano questi 2 concetti?

[fransis2]

"fransis2":
non ho capito: noi dobbiamo dimostrare che $A_n$ non ha sottogruppi normali mentre tu hai fatto notare che se un gruppo contiene una permutazione dispari allora contiene anche una permutazione pari... cosa c'entrano questi 2 concetti?

ho provato a ripensarci, ma non riseco proprio a capire la connessione..

[vict85]

"fransis2":[quote="fransis2"]
non ho capito: noi dobbiamo dimostrare che $A_n$ non ha sottogruppi normali mentre tu hai fatto notare che se un gruppo contiene una permutazione dispari allora contiene anche una permutazione pari... cosa c'entrano questi 2 concetti?

ho provato a ripensarci, ma non riseco proprio a capire la connessione..[/quote]

Solo che nessun sottogruppo normale di $S_n$ può contenere permutazioni dispari.

Questo noi comunque non l'ho capito... Io non scrivo la dimostrazione perché non riesco a renderla più corta di una pagina. Comunque in http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594g.html puoi scaricare un pdf che la contiene... da pagina 61. Ce l'ho anche in un altro, ma non è scritta bene...

In ogni caso ti consiglio di riguardarti tutte le definizione e cercare di capire le connessioni tra i vari elementi.