Domande sceme sull'anello dei polinomi
Sia $ A $ un anello fattoriale (che non sia un campo) allora l'anello dei polinomi $ A[x] $ è fattoriale ?
Boh. Provo a dimostrarlo. Sia $ p $ un polinomio a coefficienti in $ A $. Se $ gr(p)=0 $ allora $ p $ è costante e quindi se non è invertibile si scompone in un unico modo come prodotto di elementi irriducibili perchè per ipotesi A è fattoriale. Sia $ gr(p)=n>0 $ e supponiamo che ogni polinomio di grado minore di $ n $ sia irriducibile oppure si scompone in un unico modo in un prodotto di elementi irriducibili. Allora se $ p $ non è irriducibile esistono due polinomi $ f $ e $ g $ di grado positivo tali che $ p=fg $ e quindi $ n=gr(p)=gr(f)+gr(g) $ e per l'ipotesi di induzione $ f $ e $ g $ si possono scomporre in un prodotto di polinomi irriducibili. Quindi siano $ p=p_1...p_s = q_1...q_t $ due scomposizione di $ p $. Allora $ p_1 $ divide $ q_1...q_t $ e trattandosi di polinomi irriducibili esiste $ q_i $ tale che $ p_1 $ divide $ q_i $ . Senza ledere la generalità del discorso possiamo supporre che sia $ i=1 $ e $ p_1 $ è associato a $ q_1 $. Allora esiste un elemento invertibile $ u $ tale che $ p_2...p_s = uq_2...q_t $ e per l'ipotesi di induzione $ s=t $ ed esiste una permutazione $ \phi $ tale che $ p_i è associato a q_{\phi (i)} $ per ogni $ i=2,3,...,t $
Ma non è che mi sto complicando le cose e magari era una cosa ancora più banale ? xD
Boh. Provo a dimostrarlo. Sia $ p $ un polinomio a coefficienti in $ A $. Se $ gr(p)=0 $ allora $ p $ è costante e quindi se non è invertibile si scompone in un unico modo come prodotto di elementi irriducibili perchè per ipotesi A è fattoriale. Sia $ gr(p)=n>0 $ e supponiamo che ogni polinomio di grado minore di $ n $ sia irriducibile oppure si scompone in un unico modo in un prodotto di elementi irriducibili. Allora se $ p $ non è irriducibile esistono due polinomi $ f $ e $ g $ di grado positivo tali che $ p=fg $ e quindi $ n=gr(p)=gr(f)+gr(g) $ e per l'ipotesi di induzione $ f $ e $ g $ si possono scomporre in un prodotto di polinomi irriducibili. Quindi siano $ p=p_1...p_s = q_1...q_t $ due scomposizione di $ p $. Allora $ p_1 $ divide $ q_1...q_t $ e trattandosi di polinomi irriducibili esiste $ q_i $ tale che $ p_1 $ divide $ q_i $ . Senza ledere la generalità del discorso possiamo supporre che sia $ i=1 $ e $ p_1 $ è associato a $ q_1 $. Allora esiste un elemento invertibile $ u $ tale che $ p_2...p_s = uq_2...q_t $ e per l'ipotesi di induzione $ s=t $ ed esiste una permutazione $ \phi $ tale che $ p_i è associato a q_{\phi (i)} $ per ogni $ i=2,3,...,t $
Ma non è che mi sto complicando le cose e magari era una cosa ancora più banale ? xD
Risposte
Non è banale, è una conseguenza del lemma di Gauss (il lemma 2 qui). 
"perplesso":Ehm, questo seguirebbe solo dall'unicità della fattorizzazione, cioè la cosa che stai cercando di dimostrare
Allora $ p_1 $ divide $ q_1...q_t $ e trattandosi di polinomi irriducibili esiste $ q_i $ tale che $ p_1 $ divide $ q_i $.
Chiarissimo grazie! 
Ho un'altra domanda. Al liceo dopo aver studiato i polinomi mi facevano studiare le frazioni algebriche. Ora ho pensato che se volessi costruirle, dato un dominio di integrità unitario $ A $ mi basterebbe fare il campo dei quozienti dell'anello $ A[x] $. Domanda: l'anello $ Q(A[x]) $ è di qualche interesse in algebra? No, vero? xD
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