Domande di Algebra 1
Ciao a tutti, sto studiando Algebra e mi stanno sorgendo piccoli dubbi sulle strutture algebriche... di seguito riporto qualche domanda che mi sto ponendo nella speranza che possiate aiutarmi...
1) Posso definire la funzione "potenza" ( $ a^0=1_X,a^n=a^(n+1)** a $ ) solo se esiste un'unità relativa a $ ** $ ?
2) C'è una differenza tra anelli euclidei e domini euclidei o è solo una questione di nomenclatura (cioè anello euclideo $ rArr $ dominio)?
3) La definizione di anello euclideo va data con l'esistenza di una norma o con la possibilità di effettuare una divisione euclidea?
4) La divisione euclidea si può estendere a qualsiasi insieme (non per forza con numeri o polinomi) con le relative operazioni?
1) Posso definire la funzione "potenza" ( $ a^0=1_X,a^n=a^(n+1)** a $ ) solo se esiste un'unità relativa a $ ** $ ?
2) C'è una differenza tra anelli euclidei e domini euclidei o è solo una questione di nomenclatura (cioè anello euclideo $ rArr $ dominio)?
3) La definizione di anello euclideo va data con l'esistenza di una norma o con la possibilità di effettuare una divisione euclidea?
4) La divisione euclidea si può estendere a qualsiasi insieme (non per forza con numeri o polinomi) con le relative operazioni?
Risposte
1) La ricorsione dovrebbe essere $a^{n+1} = a^n \star a$. Se hai un'unità, allora parti da $a^0 = 1$. Se non hai un'unità, puoi partire da $a^1 = a$ e tutte le proprietà valgono comunque (attenzione: se non hai un'unità, non hai gli inversi, quindi niente potenze negative) - esempio facile: I numeri naturali maggiori di $N$ fissato, con l'operazione di somma.
2) In tutta la letteratura che ho trovato, li ho sempre visti usati come sinonimi. Credo che se non si è in un dominio ci siano problemi nel definire la norma.
3) Sì. Un dominio si dice euclideo se esiste una divisione euclidea (e quindi una funzione norma che soddisfa certe proprietà).
4) Dipende cosa intendi per numeri. Ogni anello in cui le operazioni soddisfano le condizioni per definire una divisione euclidea, è un dominio euclideo. Ad esempio, le matrici non sono numeri, ma all'interno dell'anello delle matrici ci sono sottoanelli isomorfi a $\ZZ$ (e in realtà anche sottoanelli isomorfi a un sacco di altre cose) che è un dominio euclideo, quindi tali sottoanelli sono domini euclidei. La maggior parte dei domini euclidei "più facili" sono estensioni finite di $\ZZ$ (ad esempio gli interi di Gauss $\ZZ$, o gli anelli della forma $\ZZ[\sqrt{d}]$ per certi $d$), oppure anelli di polinomi in una indeterminata su campi (e dire che, ad esempio, i campi finiti sono fatti di numeri è un'affermazione coraggiosa); tuttavia se riesco a inventarmi un insieme strano, con due operazioni strane che lo rendono un anello, e in modo che si riesca a definire una divisione euclidea, ottengo un dominio euclideo che ha poco a che fare con numeri o polinomi.
2) In tutta la letteratura che ho trovato, li ho sempre visti usati come sinonimi. Credo che se non si è in un dominio ci siano problemi nel definire la norma.
3) Sì. Un dominio si dice euclideo se esiste una divisione euclidea (e quindi una funzione norma che soddisfa certe proprietà).
4) Dipende cosa intendi per numeri. Ogni anello in cui le operazioni soddisfano le condizioni per definire una divisione euclidea, è un dominio euclideo. Ad esempio, le matrici non sono numeri, ma all'interno dell'anello delle matrici ci sono sottoanelli isomorfi a $\ZZ$ (e in realtà anche sottoanelli isomorfi a un sacco di altre cose) che è un dominio euclideo, quindi tali sottoanelli sono domini euclidei. La maggior parte dei domini euclidei "più facili" sono estensioni finite di $\ZZ$ (ad esempio gli interi di Gauss $\ZZ$, o gli anelli della forma $\ZZ[\sqrt{d}]$ per certi $d$), oppure anelli di polinomi in una indeterminata su campi (e dire che, ad esempio, i campi finiti sono fatti di numeri è un'affermazione coraggiosa); tuttavia se riesco a inventarmi un insieme strano, con due operazioni strane che lo rendono un anello, e in modo che si riesca a definire una divisione euclidea, ottengo un dominio euclideo che ha poco a che fare con numeri o polinomi.
Tutto chiaro... grazie mille!
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