Domanda sui polinomi
avrei una domanda. Quanti sono i polinomi monici irriducibili di quarto grado in $ZZ_3$[x]?
Mi sapreste dare una formula con relativa dimostrazione? In caso affermativo si può generalizzare tale formula nel caso in cui abbiamo un polinomio di grado qualsiasi in $ZZ_n$[x] ?
Mi sapreste dare una formula con relativa dimostrazione? In caso affermativo si può generalizzare tale formula nel caso in cui abbiamo un polinomio di grado qualsiasi in $ZZ_n$[x] ?
Risposte
C'e' una formula che esprime [tex]N_p(n)[/tex], il numero dei polinomi monici irriducibili di grado [tex]n[/tex] in [tex]\mathbb{Z}_p[X][/tex], dove [tex]p[/tex] e' un primo.
[tex]N_p(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d}) p^d[/tex],
dove [tex]\mu[/tex] e' la funzione di Moebius classica (la funzione [tex]\mathbb{N}_{>0} \to \{0,1,-1\}[/tex] che manda in 0 i numeri divisibili per quadrati maggiori di 1, in 1 il numero 1 e in [tex](-1)^r[/tex] i numeri che sono prodotto di [tex]r[/tex] primi distinti). Il risultato e' un'applicazione della formula di inversione di Moebius. Prova a cercare su internet.
Nel tuo caso [tex]N_3(4) = \frac{1}{4} (-9+81) = 18[/tex]. Ci sono 18 polinomi monici irriducibili di grado 4 in [tex]\mathbb{Z}_3[X][/tex].
[tex]N_p(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d}) p^d[/tex],
dove [tex]\mu[/tex] e' la funzione di Moebius classica (la funzione [tex]\mathbb{N}_{>0} \to \{0,1,-1\}[/tex] che manda in 0 i numeri divisibili per quadrati maggiori di 1, in 1 il numero 1 e in [tex](-1)^r[/tex] i numeri che sono prodotto di [tex]r[/tex] primi distinti). Il risultato e' un'applicazione della formula di inversione di Moebius. Prova a cercare su internet.
Nel tuo caso [tex]N_3(4) = \frac{1}{4} (-9+81) = 18[/tex]. Ci sono 18 polinomi monici irriducibili di grado 4 in [tex]\mathbb{Z}_3[X][/tex].
Ti do' l'interpretazione "algebrica" della cosa.
Date due funzioni [tex]f,g:\mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex] definiamo la funzione [tex]f \ast g : \mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex] (Convoluzione di Dirichlet) come segue:
[tex](f \ast g) (n) := \sum_{d|n} f(d) g(n/d)[/tex].
Si verifica che l'operazione [tex]\ast[/tex] e' associativa. Detto [tex]\mathcal{L}[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex], il semigruppo [tex](\mathcal{L},\ast)[/tex] e' un monoide. Esiste cioe' un elemento neutro [tex]e \in \mathcal{L}[/tex], cioe' tale che [tex]f \ast e = f = e \ast f[/tex]. Si tratta della funzione che manda 1 in 1 e tutto il resto in zero.
Detta [tex]N \in \mathcal{L}[/tex] la funzione che manda tutto in 1, si ha che [tex]N[/tex] e' invertibile in [tex]\mathcal{L}[/tex], esiste cioe' [tex]\mu \in \mathcal{L}[/tex] tale che [tex]\mu \ast N = N \ast \mu = e[/tex]. Questa [tex]\mu[/tex] e' esattamente la funzione di Moebius, quella che ho definito nell'intervento precedente (non e' difficile dimostrarlo).
Ora prendiamo [tex]F,f \in \mathcal{L}[/tex] tali che [tex]F=f \ast N[/tex], cioe' [tex]F(n) = \sum_{d|n} f(d)[/tex]. Nel monoide [tex]\mathcal{L}[/tex] si ha allora che [tex]F \ast \mu = (f \ast N) \ast \mu = f \ast (N \ast \mu) = f \ast e = f[/tex]. Questa e' la formula di inversione.
Formula di inversione: se [tex]F = f \ast N[/tex] allora [tex]f = F \ast \mu[/tex]
[dim. Moltiplicare a destra per [tex]\mu[/tex]]
Questo si applica al tuo problema. Chiama [tex]N_p(n)[/tex] il numero di polinomi monici irriducibili di [tex]\mathbb{Z}_p[X][/tex] di grado [tex]n[/tex], e definisci [tex]f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex], [tex]n \mapsto n \cdot N_p(n)[/tex]. [tex]f(n)[/tex] risulta essere il grado del prodotto dei polinomi monici irriducibili di grado [tex]n[/tex]. Allora [tex]F(n) := \sum_{d|n} f(d) = p^n[/tex] (ricorda che il prodotto dei polinomi monici irriducibili di grado un divisore di [tex]n[/tex] e' uguale a [tex]x^{p^n}-x[/tex]). Quindi per la formula di inversione [tex]n \cdot N_p(n) = f(n) = (F \ast \mu) (n) = \sum_{d|n} F(d) \mu(n/d) = \sum_{d|n} \mu(n/d) p^d[/tex].
Date due funzioni [tex]f,g:\mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex] definiamo la funzione [tex]f \ast g : \mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex] (Convoluzione di Dirichlet) come segue:
[tex](f \ast g) (n) := \sum_{d|n} f(d) g(n/d)[/tex].
Si verifica che l'operazione [tex]\ast[/tex] e' associativa. Detto [tex]\mathcal{L}[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex], il semigruppo [tex](\mathcal{L},\ast)[/tex] e' un monoide. Esiste cioe' un elemento neutro [tex]e \in \mathcal{L}[/tex], cioe' tale che [tex]f \ast e = f = e \ast f[/tex]. Si tratta della funzione che manda 1 in 1 e tutto il resto in zero.
Detta [tex]N \in \mathcal{L}[/tex] la funzione che manda tutto in 1, si ha che [tex]N[/tex] e' invertibile in [tex]\mathcal{L}[/tex], esiste cioe' [tex]\mu \in \mathcal{L}[/tex] tale che [tex]\mu \ast N = N \ast \mu = e[/tex]. Questa [tex]\mu[/tex] e' esattamente la funzione di Moebius, quella che ho definito nell'intervento precedente (non e' difficile dimostrarlo).
Ora prendiamo [tex]F,f \in \mathcal{L}[/tex] tali che [tex]F=f \ast N[/tex], cioe' [tex]F(n) = \sum_{d|n} f(d)[/tex]. Nel monoide [tex]\mathcal{L}[/tex] si ha allora che [tex]F \ast \mu = (f \ast N) \ast \mu = f \ast (N \ast \mu) = f \ast e = f[/tex]. Questa e' la formula di inversione.
Formula di inversione: se [tex]F = f \ast N[/tex] allora [tex]f = F \ast \mu[/tex]
[dim. Moltiplicare a destra per [tex]\mu[/tex]]
Questo si applica al tuo problema. Chiama [tex]N_p(n)[/tex] il numero di polinomi monici irriducibili di [tex]\mathbb{Z}_p[X][/tex] di grado [tex]n[/tex], e definisci [tex]f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}[/tex], [tex]n \mapsto n \cdot N_p(n)[/tex]. [tex]f(n)[/tex] risulta essere il grado del prodotto dei polinomi monici irriducibili di grado [tex]n[/tex]. Allora [tex]F(n) := \sum_{d|n} f(d) = p^n[/tex] (ricorda che il prodotto dei polinomi monici irriducibili di grado un divisore di [tex]n[/tex] e' uguale a [tex]x^{p^n}-x[/tex]). Quindi per la formula di inversione [tex]n \cdot N_p(n) = f(n) = (F \ast \mu) (n) = \sum_{d|n} F(d) \mu(n/d) = \sum_{d|n} \mu(n/d) p^d[/tex].
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