Domanda sui gruppi

[Ale0010]

sia $G$ l'insieme dei numeri complessi $z$ tale che $z^n=1$ per qualche intero n.
si provi che $G$ è un sottogruppo.


io so che $G$ è un sottogruppo se dati $x,y$ appartenenti al sottogruppo, $x*y^-1$ appartiene ancora $G$. ma non so come applicarlo in $z^n$.

[Gi81]

Domanda:
$G = {z in CC | z^n =1}$ con $n in NN$ fissato
oppure
$G = {z in CC | EE n in NN : z^n =1}$ ?

[vict85]

"Ale00":sia $G$ l'insieme dei numeri complessi $z$ tale che $z^n=1$ per qualche intero n.
si provi che $G$ è un sottogruppo.


io so che $G$ è un sottogruppo se dati $x,y$ appartenenti al sottogruppo, $x*y^-1$ appartiene ancora $G$. ma non so come applicarlo in $z^n$.

Se tu non sapessi che sei nei numeri complessi come lo faresti?

[yellow2]

Comunque quello è solo un trucco per verificare allo stesso tempo la chiusura e la presenza dell'inverso, ma sono due passi che si possono anche fare separatamente (a me normalmente viene più comodo).
Ah e ovviamente puoi limitarti a fare queste verifiche perché stai cercando di dimostrare che il tuo sottoinsieme sia un sottogruppo del gruppo moltiplicativo $CC^**$, ma devi specificarlo.

[Kashaman]

Io risolverei cosi.

Sia $G={z in CC | z^n=1}$ voglio provare che $G Per la caratterizzazione dei sottogruppi si ha che $G AA z^n , k^n in G : (z^n)*(k^n)^-1 in G$.

Verifichiamo
$(z^n)*(k^n)^-1 = (z^n)*k^(-n) = (z*k)^(n-n)=(z*k)^0=1_G=(1_CC) in G$
E quindi $G

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[Sigma11]

Dal testo però sembrerebbe più il secondo gruppo descritto da @Gi8!
Quindi bisognerebbe fare qualche passo in più. Sia \( m\) tale che \( z^m=1\) e \( n\) tale che \( w^n=1 \), e quindi \(w,z \) appartengono al gruppo. Per verificare che \( zw^{-1}=v\) appartiene al gruppo, occorre trovare un esponente naturale \( N \) per cui \( v^N=1 \). Se prendiamo \( nm \) abbiamo che \( v^{nm} =(zw^{-1})^{nm}= z^{nm} w^{-nm} = 1^n 1^{-m} =1 \) in cui utilizziamo che l'inverso di 1 è 1, e che tutte le potenze di 1 sono 1 (oltre alla commutatività del prodotto nei complessi). Quindi ponendo \( N=nm \) abbiamo concluso ^_^.