Domanda sugli ideali (non difficilissima)
Sia $\mathbf{K}$ campo.
Considerato il dominio dei polinomi in 2 variabili $\mathbf{K}[x,y]$, posso dire che $(x^2-y)\nn(x+2y^3)=0$? (cioè l'intersezione di ideali è l'ideale nullo?)
Posso avere $\mathbf{K}[x,y]=(x^2-y)+(x+2y^3)$?
Mi sembra che la risposta alla prima domanda sia sì, la seconda no.
Però non sono in grado di dimostrarlo.
Qualcuno mi dà una mano per favore?
Grazie. Ciao.
Considerato il dominio dei polinomi in 2 variabili $\mathbf{K}[x,y]$, posso dire che $(x^2-y)\nn(x+2y^3)=0$? (cioè l'intersezione di ideali è l'ideale nullo?)
Posso avere $\mathbf{K}[x,y]=(x^2-y)+(x+2y^3)$?
Mi sembra che la risposta alla prima domanda sia sì, la seconda no.
Però non sono in grado di dimostrarlo.
Qualcuno mi dà una mano per favore?
Grazie. Ciao.
Risposte
Mi pare che la risposta sia "no" ad entrambe le domande.
Infatti quell'intersezione contiene almeno il prodotto $(x^2-y)(x+2y^3)$, non nullo perché monico in $x$ (in generale se $I$ e $J$ sono ideali si ha sempre $IJ subseteq I nn J$), e l'ideale generato da $x^2-y$ e $x+2y^3$ contiene le combinazioni del tipo $a(x,y)(x^2-y)+b(x,y)(x+2y^3)$, e tali combinazioni non hanno mai termini noti non nulli. In particolare una tale combinazione non sarà mai uguale a $1$.
Infatti quell'intersezione contiene almeno il prodotto $(x^2-y)(x+2y^3)$, non nullo perché monico in $x$ (in generale se $I$ e $J$ sono ideali si ha sempre $IJ subseteq I nn J$), e l'ideale generato da $x^2-y$ e $x+2y^3$ contiene le combinazioni del tipo $a(x,y)(x^2-y)+b(x,y)(x+2y^3)$, e tali combinazioni non hanno mai termini noti non nulli. In particolare una tale combinazione non sarà mai uguale a $1$.
Grazie mille... senti, ti offendi se ti chiedo anche una mano per l'esercizio in questione? E' veramente pipicchio...
Tra l'altro mi sa che avevo un po' equivocato l'esercizio...
L'esercizio esattamente chiede di considerare gli ideali che ho detto, che ora chiamo $M$ e $N$, come sottomoduli di $A=K[x,y]$.
Precisamente chiede:
1 se $A=M\oplus N$ (avevo male interpretato: intendeva in pratica la somma diretta esterna)
2 se è vero che $M\oplus N$ è un sottomodulo di $A$
3 se è vero che $M$ e $N$ sono $A$-moduli liberi.
3 sì perchè $A$ è un dominio, quindi il generatore di $M$ (e così per $N$) è necessariamente libero (giusto?).
Prima di tutto deve valere 2, altrimenti non vale nemmeno 1.
Ma come si fa?
Tra l'altro mi sa che avevo un po' equivocato l'esercizio...
L'esercizio esattamente chiede di considerare gli ideali che ho detto, che ora chiamo $M$ e $N$, come sottomoduli di $A=K[x,y]$.
Precisamente chiede:
1 se $A=M\oplus N$ (avevo male interpretato: intendeva in pratica la somma diretta esterna)
2 se è vero che $M\oplus N$ è un sottomodulo di $A$
3 se è vero che $M$ e $N$ sono $A$-moduli liberi.
3 sì perchè $A$ è un dominio, quindi il generatore di $M$ (e così per $N$) è necessariamente libero (giusto?).
Prima di tutto deve valere 2, altrimenti non vale nemmeno 1.
Ma come si fa?
Allora diciamo che $A=K[x,y]$ e $M=(m)$, $N=(n)$ sono ideali di $A$ non nulli.
Le prime due domande mi sembrano poste un po' allegramente. Non credo che con $M oplus N$ intenda la somma diretta esterna, altrimenti non avrebbe senso chiedere se $A=M oplus N$, casomai si dovrebbe chiedere se $A cong M oplus N$. Infatti domandare se $A=M oplus N$ sottintende che la somma diretta è interna, e in questo caso la somma $M+N$ non è diretta in quanto $mn in M cap N$ e $mn ne 0$ in quanto $m,n in A$ non sono nulli.
In questo modo la seconda domanda perde di senso.
Alla terza hai risposto bene.
Almeno questo è quello che penso io.
"amel":
L'esercizio esattamente chiede di considerare gli ideali che ho detto, che ora chiamo $M$ e $N$, come sottomoduli di $A=K[x,y]$.
Precisamente chiede:
1 se $A=M\oplus N$ (avevo male interpretato: intendeva in pratica la somma diretta esterna)
2 se è vero che $M\oplus N$ è un sottomodulo di $A$
3 se è vero che $M$ e $N$ sono $A$-moduli liberi.
Le prime due domande mi sembrano poste un po' allegramente. Non credo che con $M oplus N$ intenda la somma diretta esterna, altrimenti non avrebbe senso chiedere se $A=M oplus N$, casomai si dovrebbe chiedere se $A cong M oplus N$. Infatti domandare se $A=M oplus N$ sottintende che la somma diretta è interna, e in questo caso la somma $M+N$ non è diretta in quanto $mn in M cap N$ e $mn ne 0$ in quanto $m,n in A$ non sono nulli.
In questo modo la seconda domanda perde di senso.
Alla terza hai risposto bene.
Almeno questo è quello che penso io.
Grazie mille della risposta (scusa se ho risposto così tardi...)!!
Ho pensato anche alla richiesta che $M \oplus N \cong A$: secondo me non è vero. Intanto noto che $M=\oplus N=MxN$ ora non è vero che $M \oplus N \cong A$ perchè il primo ha rango 2 (perchè $A$ è un dominio e dunque certamente ${(x^2-y,0),(0,x+2y^3)}$ è una base), mentre $A$ ha rango 1 ovviamente.
Dunque non si può neppure prendere come modulo isomorfo a un sottomodulo di $A$. Più o meno il ragionamento è giusto?
Se non hai voglia di rispondermi fa lo stesso, mi hai già dato una gran mano, grazie!
P.S. (seriamente, non prendo in giro): Complimenti per essere diventato un moderatore, mancava davvero qui un bravo algebrista come te (spero di non averti offeso definendoti algebrista, magari i tuoi interessi sono altro...
)
Ho pensato anche alla richiesta che $M \oplus N \cong A$: secondo me non è vero. Intanto noto che $M=\oplus N=MxN$ ora non è vero che $M \oplus N \cong A$ perchè il primo ha rango 2 (perchè $A$ è un dominio e dunque certamente ${(x^2-y,0),(0,x+2y^3)}$ è una base), mentre $A$ ha rango 1 ovviamente.
Dunque non si può neppure prendere come modulo isomorfo a un sottomodulo di $A$. Più o meno il ragionamento è giusto?
Se non hai voglia di rispondermi fa lo stesso, mi hai già dato una gran mano, grazie!
P.S. (seriamente, non prendo in giro): Complimenti per essere diventato un moderatore, mancava davvero qui un bravo algebrista come te (spero di non averti offeso definendoti algebrista, magari i tuoi interessi sono altro...
)
"amel":
Grazie mille della risposta (scusa se ho risposto così tardi...)!!
Ho pensato anche alla richiesta che $M \oplus N \cong A$: secondo me non è vero. Intanto noto che $M=\oplus N=MxN$ ora non è vero che $M \oplus N \cong A$ perchè il primo ha rango 2 (perchè $A$ è un dominio e dunque certamente ${(x^2-y,0),(0,x+2y^3)}$ è una base), mentre $A$ ha rango 1 ovviamente.
Dunque non si può neppure prendere come modulo isomorfo a un sottomodulo di $A$. Più o meno il ragionamento è giusto?
Se non hai voglia di rispondermi fa lo stesso, mi hai già dato una gran mano, grazie!
P.S. (seriamente, non prendo in giro): Complimenti per essere diventato un moderatore, mancava davvero qui un bravo algebrista come te (spero di non averti offeso definendoti algebrista, magari i tuoi interessi sono altro...
Condivido le tue considerazioni matematiche
Ma definirmi "bravo algebrista" è esagerato.. mi manca ancora un bel po' di strada
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo