Domanda su omomorfismo di gruppi.

[francicko]

Scusate per la domanda che può apparire banale,ma ho ripreso da poco a leggere qualche argomento sui gruppi ed ho la sensazione di avere dimenticato i concetti basilari; la domanda è la seguente: se $H$ e $K$,sono due gruppi finiti,con $|H|<|K|$,ed esiste un omomorfismo iniettivo ma non suriettivo $phi : H -> K$ l'immagine $phi(H)$ in $K$ non risulta un sottogruppo di $K$ isomorfo ad $H$? O mi sbaglio?
Vi ringrazio, e resto in attesa di una risposta!

[maurer]

Nella situazione in cui ti metti, la suriettività è impossibile (non è teoria dei gruppi, è teoria degli insiemi).

Poi, se [tex]\varphi : H \to K[/tex] è un omomorfismo qualsiasi, si ha [tex]H / \ker \varphi \simeq \text{Im}(\varphi)[/tex]. In particolare, se [tex]\varphi[/tex] è iniettivo vale quello che dici tu.

[francicko]

Grazie per la risposta, chiara ed esauriente!