Domanda su insiemi ed equazioni
Salve, supponiamo di avere un qualunque insieme $A$ di n-uple ordinate, dove $n$ è un numero qualsiasi $in NN$ e gli elementi delle n-uple possono essere assolutamente arbitrari.
Esiste sempre un'equazione nelle $n$ incognite le cui soluzioni coincidano con l'insieme $A$ oppure tale che $A$ è un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni dell'equazione?
Grazie!
Esiste sempre un'equazione nelle $n$ incognite le cui soluzioni coincidano con l'insieme $A$ oppure tale che $A$ è un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni dell'equazione?
Grazie!
Risposte
Salve lisdap,
a prima lettura non è che si capisce cosa intendi, ma voglio rileggere per capire il quesito da te posto
Cordiali saluti
"lisdap":
Salve, supponiamo di avere un qualunque insieme $A$ di n-uple ordinate, dove $n$ è un numero qualsiasi $in NN$ e gli elementi delle n-uple possono essere assolutamente arbitrari.
Esiste sempre un'equazione nelle $n$ incognite le cui soluzioni coincidano con l'insieme $A$ oppure tale che $A$ è un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni dell'equazione?
Grazie!
a prima lettura non è che si capisce cosa intendi, ma voglio rileggere per capire il quesito da te posto
Cordiali saluti
Formulo meglio la domanda
Supponiamo di avere un certo insieme $A$ di n-uple ordinate, con $n$ qualsiasi $in NN$, dove il numero delle n-uple è assolutamente arbitrario e gli elementi di ogni n-upla anche.
Domanda: esiste sempre un'equazione nelle $n$ incognite (ovviamente) tale che l'insieme delle sue soluzioni coincide con l'insieme $A$?
Esempio. Prendiamo l'insieme $A$ delle coppie ordinate che geometricamente rappresentano una circonferenza di centro l'origine e raggio $R$. Questo insieme di coppie ordinate coincide con le soluzioni dell'equazione $x^2+y^2=R^2$; cioè l'insieme $A$ può essere visto come l'insieme che ha per elementi le soluzioni di una certa equazione.
Mi chiedevo, dunque: esistono insiemi di n-uple ordinate che non possono essere visti come soluzione di alcuna equazione?
Supponiamo di avere un certo insieme $A$ di n-uple ordinate, con $n$ qualsiasi $in NN$, dove il numero delle n-uple è assolutamente arbitrario e gli elementi di ogni n-upla anche.
Domanda: esiste sempre un'equazione nelle $n$ incognite (ovviamente) tale che l'insieme delle sue soluzioni coincide con l'insieme $A$?
Esempio. Prendiamo l'insieme $A$ delle coppie ordinate che geometricamente rappresentano una circonferenza di centro l'origine e raggio $R$. Questo insieme di coppie ordinate coincide con le soluzioni dell'equazione $x^2+y^2=R^2$; cioè l'insieme $A$ può essere visto come l'insieme che ha per elementi le soluzioni di una certa equazione.
Mi chiedevo, dunque: esistono insiemi di n-uple ordinate che non possono essere visti come soluzione di alcuna equazione?
Non si capisce bene in quale insieme si lavora, supporrò che siano n-uple di reali ma basta che l'insieme abbia almeno due elementi! La risposta è banalmente "sì". E' sufficiente definire
$f:RR^n->RR$
$f(x)=\{(0, x inA),(1, xnotinA):}$
e si avrà che l'equazione $f(x)=0$ ha come insieme di soluzioni esattamente $A$.
Non è una costruzione molto interessante per il fatto che una funzione del genere è potenzialmente molto "brutta" e in ogni caso mai continua se $A$ non è vuoto o tutto lo spazio.
Tuttavia vale il seguente teorema non banalissimo e abbastanza sorprendente: Sia $C$ un sottoinsieme chiuso di $RR^n$. Allora esiste un'applicazione $f:RR^n->RR$ di classe $C^oo$ tale che $C=f^(-1)({0})$ (ossia, $C$ è l'insieme delle soluzioni dell'equazione $f(x)=0$).
$f:RR^n->RR$
$f(x)=\{(0, x inA),(1, xnotinA):}$
e si avrà che l'equazione $f(x)=0$ ha come insieme di soluzioni esattamente $A$.
Non è una costruzione molto interessante per il fatto che una funzione del genere è potenzialmente molto "brutta" e in ogni caso mai continua se $A$ non è vuoto o tutto lo spazio.
Tuttavia vale il seguente teorema non banalissimo e abbastanza sorprendente: Sia $C$ un sottoinsieme chiuso di $RR^n$. Allora esiste un'applicazione $f:RR^n->RR$ di classe $C^oo$ tale che $C=f^(-1)({0})$ (ossia, $C$ è l'insieme delle soluzioni dell'equazione $f(x)=0$).
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