Domanda su automorfismi

[elatan1]

Ragazzi mi potreste spiegare un metodo per trovare gli automorfismi? In particolare quelli di $Z3\timesZ3$ so che sono 48, ma non riesco a vederli! Grazie

[Nulier]

Intesi come $(3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z},+)$ o come $(3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z},+,\cdot)$?
Ossia, parliamo di gruppi o di anelli?

[elatan1]

Di gruppi! Scusa se mi sono espresso in modo poco chiaro! Poi il gruppo è interi mod 3

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In generale se [tex]p[/tex] è un primo allora puoi vedere [tex]{C_p}^n[/tex] (il prodotto diretto di [tex]C_p[/tex] con se stesso [tex]n[/tex] volte) come un [tex]\mathbb{F}_p[/tex]-spazio vettoriale di dimensione [tex]n[/tex], dove [tex]\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]. Inoltre, siccome ogni elemento di [tex]\mathbb{F}_p[/tex] è somma di uni, ogni omomorfismo di gruppi additivi [tex]{\mathbb{F}_p}^n \to {\mathbb{F}_p}^n[/tex] è [tex]\mathbb{F}_p[/tex]-lineare. Segue allora dall'algebra lineare che

[tex]\text{Aut}({C_p}^n) \cong GL(n,p)[/tex] (General Linear group),

il gruppo delle matrici invertibili [tex]n \times n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. In altre parole puoi vedere un automorfismo del gruppo [tex]{C_p}^n[/tex] come una matrice invertibile [tex]n \times n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. E' ben noto che

\[
|GL(n,q)| = (q^n-1)(q^n-q) \cdots (q^n-q^{n-1}).
\]

[elatan1]

Grazie tante!!!! Ma se avessi a che fare con un mod n dove n non è primo?

[Nulier]

Ti ringrazio per aver condiviso il tuo ragionamento Martino, piuttosto elegante ed ineccepibile.
Tuttavia, a questo punto, anche io come eletan fatico a "vederli".
Consideriamo $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Abbiamo che è un gruppo ciclico rispetto all'addizione, difatti $<(3,3)> \=3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Allora sarei portato a credere che tutti e soli gli automorfismi di $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$ sono quegli omomorfismi che mandano generatori in generatori. Tuttavia così non arrivo a visualizzarne 48... Dove sbaglio?

[elatan1]

Forse perché tu stai considerando il gruppo degli interi multipli di tre, ho sbagliato a scrivere l ese, ma mi sono corretto sotto. Io cerco gli automorfismi del gruppo Z3xz3 (ma 3 è pedice!), quindi gruppo degli interi mod 3!

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"elatan":Ma se avessi a che fare con un mod n dove n non è primo?

Non conosco una risposta definitiva, e in effetti è una domanda che mi sono sempre posto anch'io (capire in generale gli automorfismi dei gruppi abeliani). Per via di questo il problema si riduce a determinare gli automorfismi dei [tex]p[/tex]-gruppi abeliani, di cui si è parlato qui. Il caso di [tex]C_n \times C_n[/tex] si può fare ma immagino che venga una formula spaventosamente complicata.

"Nulier":Consideriamo $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Abbiamo che è un gruppo ciclico rispetto all'addizione, difatti $<(3,3)> \=3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$.

No, non è ciclico.

[Nulier]

Giusto, ho commesso un'ingenuità nel ragionamento... Grazie del chiarimento!

[elatan1]

Ciao Martino, ma la dimostrazione di quella formula che mi hai scritto la potresti accennare?

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"elatan":Ciao Martino, ma la dimostrazione di quella formula che mi hai scritto la potresti accennare?

Che formula? La cardinalità di [tex]GL(n,q)[/tex]?

Per contare le matrici invertibili si procede per colonne. Per la prima colonna va bene qualsiasi vettore non nullo, quindi [tex]q^n-1[/tex] scelte, per la seconda qualsiasi vettore che non sia un multiplo del primo, quindi [tex]q^n-q[/tex] scelte, per la terza qualsiasi vettore che non sia combinazione lineare dei primi due, quindi [tex]q^n-q^2[/tex] scelte, e così via.

(Qui [tex]q[/tex] è la cardinalità del campo base e [tex]n[/tex] è la dimensione, cosicché [tex]GL(n,q)[/tex] è l'insieme delle matrici [tex]n \times n[/tex] invertibili a coefficienti nel campo con [tex]q[/tex] elementi).

[elatan1]

Grazie tante!!!! Hai risposto perfettamente alla mia domanda!

[Stickelberger]

"Martino":Il caso di $C_n\times C_n$ si può fare ma immagino che venga una formula spaventosamente complicata.

Non e' cosi' male $\ldots$ Il gruppo $Aut(C_n\times C_n)$ e' isomorfo a $GL_2(ZZ_n)$

ed ha $n^4\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})^2(1+\frac{1}{p})$ elementi.

Qua $p$ varia fra i divisori primi di $n$.