Domanda su automorfismi
Ragazzi mi potreste spiegare un metodo per trovare gli automorfismi? In particolare quelli di $Z3\timesZ3$ so che sono 48, ma non riesco a vederli! Grazie
Risposte
Intesi come $(3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z},+)$ o come $(3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z},+,\cdot)$?
Ossia, parliamo di gruppi o di anelli?
Ossia, parliamo di gruppi o di anelli?
Di gruppi! Scusa se mi sono espresso in modo poco chiaro! Poi il gruppo è interi mod 3
In generale se [tex]p[/tex] è un primo allora puoi vedere [tex]{C_p}^n[/tex] (il prodotto diretto di [tex]C_p[/tex] con se stesso [tex]n[/tex] volte) come un [tex]\mathbb{F}_p[/tex]-spazio vettoriale di dimensione [tex]n[/tex], dove [tex]\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]. Inoltre, siccome ogni elemento di [tex]\mathbb{F}_p[/tex] è somma di uni, ogni omomorfismo di gruppi additivi [tex]{\mathbb{F}_p}^n \to {\mathbb{F}_p}^n[/tex] è [tex]\mathbb{F}_p[/tex]-lineare. Segue allora dall'algebra lineare che
[tex]\text{Aut}({C_p}^n) \cong GL(n,p)[/tex] (General Linear group),
il gruppo delle matrici invertibili [tex]n \times n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. In altre parole puoi vedere un automorfismo del gruppo [tex]{C_p}^n[/tex] come una matrice invertibile [tex]n \times n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. E' ben noto che
\[
|GL(n,q)| = (q^n-1)(q^n-q) \cdots (q^n-q^{n-1}).
\]
[tex]\text{Aut}({C_p}^n) \cong GL(n,p)[/tex] (General Linear group),
il gruppo delle matrici invertibili [tex]n \times n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. In altre parole puoi vedere un automorfismo del gruppo [tex]{C_p}^n[/tex] come una matrice invertibile [tex]n \times n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. E' ben noto che
\[
|GL(n,q)| = (q^n-1)(q^n-q) \cdots (q^n-q^{n-1}).
\]
Grazie tante!!!! Ma se avessi a che fare con un mod n dove n non è primo?
Ti ringrazio per aver condiviso il tuo ragionamento Martino, piuttosto elegante ed ineccepibile.
Tuttavia, a questo punto, anche io come eletan fatico a "vederli".
Consideriamo $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Abbiamo che è un gruppo ciclico rispetto all'addizione, difatti $<(3,3)> \=3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Allora sarei portato a credere che tutti e soli gli automorfismi di $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$ sono quegli omomorfismi che mandano generatori in generatori. Tuttavia così non arrivo a visualizzarne 48... Dove sbaglio?
Tuttavia, a questo punto, anche io come eletan fatico a "vederli".
Consideriamo $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Abbiamo che è un gruppo ciclico rispetto all'addizione, difatti $<(3,3)> \=3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Allora sarei portato a credere che tutti e soli gli automorfismi di $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$ sono quegli omomorfismi che mandano generatori in generatori. Tuttavia così non arrivo a visualizzarne 48... Dove sbaglio?
Forse perché tu stai considerando il gruppo degli interi multipli di tre, ho sbagliato a scrivere l ese, ma mi sono corretto sotto. Io cerco gli automorfismi del gruppo Z3xz3 (ma 3 è pedice!), quindi gruppo degli interi mod 3!
"elatan":Non conosco una risposta definitiva, e in effetti è una domanda che mi sono sempre posto anch'io (capire in generale gli automorfismi dei gruppi abeliani). Per via di questo il problema si riduce a determinare gli automorfismi dei [tex]p[/tex]-gruppi abeliani, di cui si è parlato qui. Il caso di [tex]C_n \times C_n[/tex] si può fare ma immagino che venga una formula spaventosamente complicata.
Ma se avessi a che fare con un mod n dove n non è primo?
"Nulier":No, non è ciclico.
Consideriamo $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Abbiamo che è un gruppo ciclico rispetto all'addizione, difatti $<(3,3)> \=3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$.
Giusto, ho commesso un'ingenuità nel ragionamento... Grazie del chiarimento!
Ciao Martino, ma la dimostrazione di quella formula che mi hai scritto la potresti accennare?
"elatan":Che formula? La cardinalità di [tex]GL(n,q)[/tex]?
Ciao Martino, ma la dimostrazione di quella formula che mi hai scritto la potresti accennare?
Per contare le matrici invertibili si procede per colonne. Per la prima colonna va bene qualsiasi vettore non nullo, quindi [tex]q^n-1[/tex] scelte, per la seconda qualsiasi vettore che non sia un multiplo del primo, quindi [tex]q^n-q[/tex] scelte, per la terza qualsiasi vettore che non sia combinazione lineare dei primi due, quindi [tex]q^n-q^2[/tex] scelte, e così via.
(Qui [tex]q[/tex] è la cardinalità del campo base e [tex]n[/tex] è la dimensione, cosicché [tex]GL(n,q)[/tex] è l'insieme delle matrici [tex]n \times n[/tex] invertibili a coefficienti nel campo con [tex]q[/tex] elementi).
Grazie tante!!!! Hai risposto perfettamente alla mia domanda!
"Martino":
Il caso di $C_n\times C_n$ si può fare ma immagino che venga una formula spaventosamente complicata.
Non e' cosi' male $\ldots$ Il gruppo $Aut(C_n\times C_n)$ e' isomorfo a $GL_2(ZZ_n)$
ed ha $n^4\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})^2(1+\frac{1}{p})$ elementi.
Qua $p$ varia fra i divisori primi di $n$.
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