Domanda di logica sul teorema di deduzione semantica

[Lodosage]

Nella slide a mia disposizione di cui allego un'immagine quando mi viene presentato questo teorema penso che venga fatto un errore, vengono scambiate ipotesi e tesi. Tra l'altro qualche riga dopo la prima enunciazione di ipotesi e tesi vengono riscritte ipotesi e tesi scambiate, ovvero secondo me giuste. Potreste dirmi se ho ragione o se invece sono io a non capire qualcosa?

[G.D.5]

Credo che ci sia solo un fraintendimento da parte tua: è un se e solo se quello che si vuole provare.

[Lodosage]

ma allora perché ipotesi e tesi vengono scambiate nelle ultime righe?

[G.D.5]

Proprio perché ciò che si vuole provare è un "se e solo se".
Il teorema afferma che \( \Gamma \cup \{ \mathcal{B} \} \models \mathcal{A} \) se e solo se \( \Gamma \models \mathcal{B} \implies \mathcal{A} \).
Il teorema si compone cioè di due parti:
1. se \( \Gamma \cup \{ \mathcal{B} \} \models \mathcal{A} \), allora \( \Gamma \models \mathcal{B} \implies \mathcal{A} \);
2. se \( \Gamma \models \mathcal{B} \implies \mathcal{A} \), allora \( \Gamma \cup \{ \mathcal{B} \} \models \mathcal{A} \).

[Lodosage]

Ah ok grazie mille, avrei un'altra domanda ora, A ad esempio per essere conseguenza semantica di B deve avere tutti i modelli di B, ma la definizione di conseguenza semantica non impone che A non possa avere altri modelli oltre a quelli di B giusto?

[G.D.5]

Sì.