Divisori di $p^2-1$ congruenti a $1$ modulo $p$
Stavo pensando: se $p$ è un primo è vero che gli unici divisori di $p^2-1$ congruenti a $1$ modulo $p$ sono $1$ e $p+1$? Non riesco a trovare controesempi. Sto pensando a una dimostrazione, qualcuno ha idee?
Risposte
Ho buttato giù qualcosa...
Chiaramente se $d$ è un divisore proprio di $p+1$ o $p-1$ non può essere di quella forma in quanto $1
$mn \equiv 1 \mod p \Rightarrow mn=1+pk$
E chiamiamo $m'$ e $n'$ due numeri tali che $mm'=p+1$ è $nn'=p-1$, allora per ogni elemento $a \in (\mathbb{Z}//p\mathbb{Z})^{\ast}$ risulta
$a^{p^2-1}=a^{(k+1)n'm'} \equiv a^{(k+1)n'} \equiv 1 \mod p$
Ora, $k+1 \geq n$ inoltre la relazione vale per ogni $a$ dunque necessariamente $n| k+1$ chiamiamo $s$ tale che $ns=k+1$ allora $(m-s)n=(p-1)k$ d'altra parte $m-s
Tuttavia se $mn=1+pk$ allora $m'n'=p-1+ph$ quindi
$a^{(k+1)m'n'} \equiv a^{(k+1)h} \equiv 1 \mod p$
Per ogni $a$ quindi $p-1|(k+1)h=nh$ ma $h < n'$ quindi $p-1>(k+1)h$ assurdo.
Conclusione l'unica possibilità è che $n=1$.
Chiaramente se $d$ è un divisore proprio di $p+1$ o $p-1$ non può essere di quella forma in quanto $1
$mn \equiv 1 \mod p \Rightarrow mn=1+pk$
E chiamiamo $m'$ e $n'$ due numeri tali che $mm'=p+1$ è $nn'=p-1$, allora per ogni elemento $a \in (\mathbb{Z}//p\mathbb{Z})^{\ast}$ risulta
$a^{p^2-1}=a^{(k+1)n'm'} \equiv a^{(k+1)n'} \equiv 1 \mod p$
Ora, $k+1 \geq n$ inoltre la relazione vale per ogni $a$ dunque necessariamente $n| k+1$ chiamiamo $s$ tale che $ns=k+1$ allora $(m-s)n=(p-1)k$ d'altra parte $m-s
Tuttavia se $mn=1+pk$ allora $m'n'=p-1+ph$ quindi
$a^{(k+1)m'n'} \equiv a^{(k+1)h} \equiv 1 \mod p$
Per ogni $a$ quindi $p-1|(k+1)h=nh$ ma $h < n'$ quindi $p-1>(k+1)h$ assurdo.
Conclusione l'unica possibilità è che $n=1$.
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