Divisori dello zero

[gbspeedy]

Nell'anello delle matrici $ ( ( a , 0 ),( b , c ) ) $ con a,b,c interi i divisori dello zero sono le matrici $ ( ( 0 , 0 ),( b , 0 ) ) $ con b diverso da 0 o ce ne sono altri?

[maurer]

[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex].

[menale1]

IO direi così :
a te servono matrici [tex]\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}[/tex] tale che ne esista una [tex]\begin{pmatrix} \bar a & 0 \\ \bar b & \bar c \end{pmatrix}[/tex] diversa da [tex]\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex] tale che [tex]\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar a & 0 \\ \bar b & \bar c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex] . Il prodotto tra le due matrici genera [tex]\begin{pmatrix} a\bar a & 0 \\ \bar a b+\bar b c & c\bar c \end{pmatrix}[/tex] che deve essere uguale alla matrice nulla ; pertanto le condizioni da imporre sono : [tex]a\bar a = 0[/tex] ; [tex]c\bar c=0[/tex] ; [tex]\bar a b +\bar b c =0[/tex] . Dunque le matrici di tuo interesse sono quelle per cui [tex]c=0[/tex] e le rispettiva avranno [tex]\bar a=0[/tex] e questo [tex]\forall a \forall b[/tex] , non contemporaneamente uguale a 0 . Credo sia questa l'impostazione : ho detto qualche sciocchezza ?

[menale1]

Oopsss , ho saltato una piccola considerazione . Bisogna considerare anche gli ulteriori casi per cui quella risultante sia la matrice nulla , sempre sotto la condizione che [tex]a b c[/tex] non siano contemporaneamente nulli e allo stesso modo per [tex]\bar a \bar b \bar c[/tex] !!

[menale1]

Completerei in tal modo le considerazioni : se poni [tex]c \neq 0[/tex] e [tex]\bar a =0[/tex] oppure [tex]c=0[/tex] e [tex]\bar a \neq 0[/tex] una delle due diviene la matrice nulla che non ti reca nulla di utile per ciò che riguarda i divisori dello zero . Quindi il caso considerabile è quando [tex]c \neq 0[/tex] e [tex]\bar a \neq 0[/tex] si avrà che [tex]a=0[/tex] e [tex]\bar c = 0[/tex] pertanto devi porre [tex]\bar a b + \bar b c = 0[/tex] !! Queste sono le casistiche da considerare ! Spero di esserti stato d'aiuto !

[gbspeedy]

grazie

[menale1]

Convieni con il mio ragionamento , dunque ?

[gbspeedy]

quindi ho queste matrici:
$ ( ( 0 , 0 ),( b , 0 ) ) $ con b diverso da 0

$ ( ( a , 0 ),( b , 0 ) ) $ con a diverso da 0

$ ( ( 0 , 0 ),( b , c ) ) $ con b e c diversi da zero

[menale1]

Si , ma devi fare anche le considerazioni sulle matrici per cui devi moltiplicarle , ossia quelle le cui entrate le ho elencate come [tex]\bar a \bar b \bar c[/tex] , sennò rischia di essere incompleto ; solo in questo modo le becchi tutte !