Divisore dello $0$ in un anello.
Quando ho fatto Algebra 1 ho studiato che in $ZZ$ esiste la relazione di divisibilità, per la quale dati $x,y in ZZ$, si dice che $x$ è divisore di $y$, e si denota con $x|y$, sse $exists a \in ZZ : xa=y$.
Da questa definizione ricavavo che $0|0$ e anche $z|0, forall z != 0$, come confermato dagli appunti che ho dalle lezioni.
Oggi ho iniziato Algebra 2 con teoria degli anelli.
In un anello commutativo unitario abbiamo introdotto la relazione di divisibilità dello zeroin questo modo. Sia $(A,+,cdot)$ l'anello in oggetto: dato $a in A : a != 0_A$ (con $0_A$ intendo lo zero dell'anello) si dice che $a$ è divisore dello $0_A$ sse $exists b \in A : b != 0_A$ per il quale risulta $ab=0$.
Ora: $(ZZ,+,cdot)$ è un anello, e la precedente definizione in $ZZ$ non è mai verificata, quindi nessun intero è divisore di $0$, mentre con la definizione che ho di Algebra 1 è il contrario.
Ho dunque l'impressione che le cose cozzino un pochino.
E' solo dovuto al fatto che c'è lo stesso nome per due relazioni definite in ambiti e per fini diversi (la prima per lo studo dell'artimetica di $ZZ$ e la seconda per lo studio delle proprietà degli anelli) o sono io che ho frainteso una delle due?
Da questa definizione ricavavo che $0|0$ e anche $z|0, forall z != 0$, come confermato dagli appunti che ho dalle lezioni.
Oggi ho iniziato Algebra 2 con teoria degli anelli.
In un anello commutativo unitario abbiamo introdotto la relazione di divisibilità dello zeroin questo modo. Sia $(A,+,cdot)$ l'anello in oggetto: dato $a in A : a != 0_A$ (con $0_A$ intendo lo zero dell'anello) si dice che $a$ è divisore dello $0_A$ sse $exists b \in A : b != 0_A$ per il quale risulta $ab=0$.
Ora: $(ZZ,+,cdot)$ è un anello, e la precedente definizione in $ZZ$ non è mai verificata, quindi nessun intero è divisore di $0$, mentre con la definizione che ho di Algebra 1 è il contrario.
Ho dunque l'impressione che le cose cozzino un pochino.
E' solo dovuto al fatto che c'è lo stesso nome per due relazioni definite in ambiti e per fini diversi (la prima per lo studo dell'artimetica di $ZZ$ e la seconda per lo studio delle proprietà degli anelli) o sono io che ho frainteso una delle due?
Risposte
D'altra parte il problema permane anche eliminando la storia di $0|0$. Resta comunque $a|0$ con $a!=0$... boh...
Semplicemente perché si parla di divisori dello 0 in modo un po' differente che divisori di altri tipi...
$a|0$ è sempre verificato ma perché $a*0=0$. Dato che questo vale in qualsiasi anello e che non dice nulla sull'anello si parla di divisori dello zero quando esiste un elemento $b\ne 0$ tale che $a*b=0$. La presenza o meno di divisori dello zero dice molto sull'anello ed è per questo importante distinguerli dagli altri.
$a|0$ è sempre verificato ma perché $a*0=0$. Dato che questo vale in qualsiasi anello e che non dice nulla sull'anello si parla di divisori dello zero quando esiste un elemento $b\ne 0$ tale che $a*b=0$. La presenza o meno di divisori dello zero dice molto sull'anello ed è per questo importante distinguerli dagli altri.
Quindi diciamo che si usa lo stesso termine ma con diversa accezione per trattare il caso generale di anello, per il quale $(ZZ,+,cdot)$ è un modello...
Da me si chiamavano 0-divisori per far capire che era una definizione che non discendeva direttamente da quella di divisibilità.
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