Divisione senza resto
Vi chiedo un consiglio per quanto riguarda questo esercizio
Dire per quali numeri interi n, 15 divide $n^16$+14$n^4$+2n+1
io ho determinato la cardinalità di U($ZZ_15$) = 8, poi ho applicato il teorema di Eulero e mi resta 14$n^4$+2n+1. la domanda posta dal quesito è equivalente a chiedermi, per quali n quella divisione ha resto zero? quindi 14$n^4$+2n+1=15q in questo caso posso porre n=q poichè io voglio conoscere solo gli n interi e le soluzioni saranno solo gli interi positivi che mi permettono questa uguaglianza, il mio ragionamento è corretto?
Anche perché ad occhio quell'equazione non sembra avere soluzioni
Dire per quali numeri interi n, 15 divide $n^16$+14$n^4$+2n+1
io ho determinato la cardinalità di U($ZZ_15$) = 8, poi ho applicato il teorema di Eulero e mi resta 14$n^4$+2n+1. la domanda posta dal quesito è equivalente a chiedermi, per quali n quella divisione ha resto zero? quindi 14$n^4$+2n+1=15q in questo caso posso porre n=q poichè io voglio conoscere solo gli n interi e le soluzioni saranno solo gli interi positivi che mi permettono questa uguaglianza, il mio ragionamento è corretto?
Anche perché ad occhio quell'equazione non sembra avere soluzioni
Risposte
No, se $q = 1$ allora secondo il tuo ragionamento(se ho capito bene) $n=q = 1$ quindi avresti $14+2+1 = 17 != 15$.
Edit: inoltre il tuo ragionamento, qualora fornisse effettivamente un $q$ tale che $n=q$ e $n^16 + 14n^4 + 2n + 1 = 15q$, discriminerebbe alcune soluzioni come ad esempio $n=7$.
Comunque vedila come una congruenza: $15 | n^16 + 14n^4 + 2n + 1 \iff n^16 + 14n^4 + 2n + 1 \equiv 0 \mod 15$.
Ora se $gcd(n, 15) = 1$ puoi applicare il teorema di Eulero e la congruenza si riduce a $1 + 14n^4 + 2n + 1 \equiv 0 \mod 15 \iff 14n^4 + 2n + 2 \equiv 0 \mod 15$. Come procedi ora?
Inoltre se $gcd(n, 15) != 1$ cosa succede?
Edit: inoltre il tuo ragionamento, qualora fornisse effettivamente un $q$ tale che $n=q$ e $n^16 + 14n^4 + 2n + 1 = 15q$, discriminerebbe alcune soluzioni come ad esempio $n=7$.
Comunque vedila come una congruenza: $15 | n^16 + 14n^4 + 2n + 1 \iff n^16 + 14n^4 + 2n + 1 \equiv 0 \mod 15$.
Ora se $gcd(n, 15) = 1$ puoi applicare il teorema di Eulero e la congruenza si riduce a $1 + 14n^4 + 2n + 1 \equiv 0 \mod 15 \iff 14n^4 + 2n + 2 \equiv 0 \mod 15$. Come procedi ora?
Inoltre se $gcd(n, 15) != 1$ cosa succede?
Questa strada non so come affrontarla, anche perché studiando Algebra 1 non so risolvere una congruenza di grado superiore al primo, e se cercassi di scomporre il 15? risolvere un sistema che abbia una soluzione mod 3 e mod 5 e vada bene per entrambi usando il teorema cinese del resto?
"Aprofo":
Questa strada non so come affrontarla, anche perché studiando Algebra 1 non so risolvere una congruenza di grado superiore al primo, e se cercassi di scomporre il 15? risolvere un sistema che abbia una soluzione mod 3 e mod 5 e vada bene per entrambi usando il teorema cinese del resto?
Perfetto, applichi il teorema cinese del resto ed hai il sistema $14n^4 + 2n + 2 \equiv 0 \mod 15 \iff {(14n^4 + 2n + 2 \equiv 0 \mod 3), (14n^4 + 2n + 2 \equiv 0 \mod 5):}$
Ora se $gcd(n, 15) = 1$ cosa si può dire per $gcd(n, 3)$ e $gcd(n, 5)$?
Una volta fatte queste osservazioni puoi provare ad applicare il piccolo teorema di fermat e/o il teorema di Eulero(mi raccomando, quando vuoi applicare questi due teoremi controlla sempre le ipotesi).
ho scomposto i vari esponenti e applicato il teorema di Fermat e ottengo
n$-=$ 1 mod 3
n$-=$ 2 mod 5
che mi danno come soluzione $x_k$=22+15k
n$-=$ 1 mod 3
n$-=$ 2 mod 5
che mi danno come soluzione $x_k$=22+15k
"Aprofo":
ho scomposto i vari esponenti e applicato il teorema di Fermat e ottengo
n$-=$ 1 mod 3
n$-=$ 2 mod 5
che mi danno come soluzione $x_k$=22+15k
Corretto ma non è finita.
Abbiamo risolto solo il caso in cui $gcd(n, 15) = 1$, adesso bisogna vedere $gcd(n, 15) = 3$, $gcd(n, 15) = 5$ e $gcd(n, 15) = 15$. L'ultimo caso si scarta subito perché equivale a dire che $n \equiv 0 \mod 15$ e chiaramente $n^16 + 14n^4 + 2n + 1 != 0 \mod 15$.
ma io non ho applicato più il teorema di Eulero, sono partito da
$n^16$+14$n^4$+2n+1 $-=$ 0 mod 3
$n^16$+14$n^4$+2n+1 $-=$ 0 mod 5
e ho applicato solo Il piccolo teorema di Fermat essendo 3 e 5 primi, quindi non mi serve considerare il MCD no?
$n^16$+14$n^4$+2n+1 $-=$ 0 mod 3
$n^16$+14$n^4$+2n+1 $-=$ 0 mod 5
e ho applicato solo Il piccolo teorema di Fermat essendo 3 e 5 primi, quindi non mi serve considerare il MCD no?
"Aprofo":
ma io non ho applicato più il teorema di Eulero, sono partito da
$n^16$+14$n^4$+2n+1 $-=$ 0 mod 3
$n^16$+14$n^4$+2n+1 $-=$ 0 mod 5
e ho applicato solo Il piccolo teorema di Fermat essendo 3 e 5 primi, quindi non mi serve considerare il MCD no?
Scusami pensavo che avessi proseguito con eulero: nel tuo primo post applichi eulero e anche io l'ho applicato nella mia prima risposta.
Certo va benissimo anche con fermat, anzi è anche più breve
.
quindi quando ho questi esponenti grandi, devo giocare con i teoremi di Eulero e Fermat per cercare di ridurli qualche modo?
tipo con $2^48950+32$ per vedere se è divisibile per 66 provo a scomporre 66 e vedere cosa ne esce fuori applicando il teorema cinese del resto?
tipo con $2^48950+32$ per vedere se è divisibile per 66 provo a scomporre 66 e vedere cosa ne esce fuori applicando il teorema cinese del resto?
"Aprofo":
quindi quando ho questi esponenti grandi, devo giocare con i teoremi di Eulero e Fermat per cercare di ridurli qualche modo?
tipo con $2^48950+32$ per vedere se è divisibile per 66 provo a scomporre 66 e vedere cosa ne esce fuori applicando il teorema cinese del resto?
Non ho mai utilizzato il CRT per questioni di divisibilità come questa(sono alle prime armi anche io) tuttavia credo che il tuo ragionamento sia giusto perché il teorema cinese afferma che se $(m, n) = 1$ allora $Z_{mn}$ è isomorfo a $Z_m \times Z_n$ e quindi se è $x$ è divisibile per $mn$ lo è anche per $m$ e per $n$.
Un altro modo per attaccare questo problemi è quello di studiare il comportamento delle potenze di $2$ modulo $66$.
io ho diviso l'equazione in un sistema a tre congruenze, modulo 3, modulo 2, e modulo 11.
ovviamente il caso modulo 2 è sempre verificato, ho applicato diverse volte il teorema di fermat, facendo attenzione a non sbagliare quando avevo quoziente e resto e separandoli opportunamente usando le proprietà delle potenze e alla fine ho ottenuto che tutte e tre le congruenze erano verificate quindi ho dedotto che sia divisibile per 66
ovviamente il caso modulo 2 è sempre verificato, ho applicato diverse volte il teorema di fermat, facendo attenzione a non sbagliare quando avevo quoziente e resto e separandoli opportunamente usando le proprietà delle potenze e alla fine ho ottenuto che tutte e tre le congruenze erano verificate quindi ho dedotto che sia divisibile per 66
"Aprofo":
io ho diviso l'equazione in un sistema a tre congruenze, modulo 3, modulo 2, e modulo 11.
ovviamente il caso modulo 2 è sempre verificato, ho applicato diverse volte il teorema di fermat, facendo attenzione a non sbagliare quando avevo quoziente e resto e separandoli opportunamente usando le proprietà delle potenze e alla fine ho ottenuto che tutte e tre le congruenze erano verificate quindi ho dedotto che sia divisibile per 66
Va bene
!
grazie mille 
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