Ditemi se è giusto

[jJjjJ1]

Stavo cercando di risolvere un esercizio e mi servirebbe di provare questo fatto ( è vero? ):

Sia $ \Phi : R \rightarrow S $ un omomorfismo suriettivo di anelli commutativi. Sia $ J $ un ideale massimale di $ S $ allora $ \Phi^{-1} ( J ) $ è un ideale massimale di $ R $

Ho provato a dimostrarlo così:

Sia $ J $ un ideale massimale di $ S $ e sia $ I $ un ideale di $ R $ tale che $ \Phi^{-1} ( J ) \subset I$
Allora $ \Phi ( Phi^{-1} ( J ) ) ) \subset \Phi ( I ) \rightarrow J \subset \Phi ( I ) $ e poiché $ J $ è massimale allora $ \Phi ( I ) = J $ oppure $ \Phi ( I ) = S $

Nel primo caso $ I = Phi^{-1} ( J ) $ altrimenti $ I = R $

E' giusto?

[vict85]

Si è corretto.