Disuguaglianze con la parte intera

[dissonance]

Sto facendo confusione con la funzione parte intera, per intenderci $x\mapsto[x]$ dove $[x]$ è il più piccolo intero $<=x$. Se ho due numeri $beta, alpha>0$, magari possiamo supporre $alpha>beta$, che disuguaglianza posso trovare tra $[alpha-beta]$ e $[alpha]-[beta]$, secondo voi?

[adaBTTLS1]

$alpha-beta-1<[alpha-beta]<=alpha-beta$
$alpha-1<[alpha]<=alpha$
$beta-1<[beta]<=beta$
$-beta<=-[beta]<-beta+1$
$alpha-beta-1<[alpha]-[beta]
spero di non aver commesso errori.
dal confronta tra la prima e l'ultima puoi dedurre quello che cerchi?
ciao.

[dissonance]

@ adaBTTLS: sono contento che mi abbia risposto tu che mi aiuti sempre in queste cose...

Allora, sto cercando di risolvere un esercizio del mio corso di analisi, il testo è questo, molto semplice ma non banale:

dati due numeri $alpha, beta>0$ incommensurabili ($alpha/beta$ è irrazionale) dimostrare che l'insieme ${alpham+betan\ |\ m, n\in ZZ}$ è denso in $RR$.

Da qualche parte ho trovato un suggerimento per incominciare:

innanzitutto consideriamo l'insieme ${gammam+n}$, con $gamma$ irrazionale, che è denso se e solo se è denso il precedente (dimostrare questo è abbastanza facile).
In questo insieme scegliamo la successione ${gammam-[gammam]}_{m\inNN}$ delle mantisse dei numeri $gammam$. Dobbiamo dimostrare che questa successione si accumula intorno a 0.[/list:u:8xgbkazl]

Ora chiaramente il vantaggio di avere a che fare con questa successione è che sappiamo esattamente dove siamo: la mantissa di ogni numero reale è in $[0,1]$. E' anche facile capire a che serve l'irrazionalità di $gamma$: ogni elemento di ${mgamma+n}$ è univocamente determinato da $m, n$. (Se fosse $mgamma+n=m'gamma+n'$ avremmo: o $m=m', n=n'$ oppure $gamma$ è razionale). In particolare la nostra successione $gammam-[gammam]$ non presenta ripetizioni. Dalla compattezza di $[0, 1]$, abbiamo che questa successione ha una estratta convergente.

Questa estratta sarà di Cauchy e allora, per ogni $epsilon>0$ possiamo trovare due interi $m, n$ tali che $0<|mgamma-[mgamma]-(ngamma-[ngamma])| $0<|(m-n)gamma-[(m-n)gamma]|<|mgamma-[mgamma]-(ngamma-[ngamma])|
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[adaBTTLS1]

puoi provare a confrontare la prima e l'ultima relazione del messaggio precedente (io ho cancellato questa parte perché avevo scritto una grossa cavolata!)

se sciogli le parentesi tonde, $m gamma - n gamma$ sono uguali dentro il simbolo di modulo ed inoltre $-[m gamma - n gamma] ? -([m gamma]-[n gamma])$ .... mi si stanno girando gli occhi... ricontrolla! [questo dipendeva da una cosa falsa affermata precedentemente: vale però la pena controllare]
{dunque, senza il simbolo di modulo, la disuguaglianza è valida in quel verso (è questo che devi ricontrollare!)}
si tratta di studiare il segno di quello che c'è scritto dentro il simbolo di modulo (perché se fossero le due espressioni ad esempio entrambe negative la diseguaglianza varrebbe in senso contrario): ma sono positive, perché lo è certamente la minore tra le due perché ottenuta sottraendo ad un numero la sua parte intera. quindi il modulo si può anche omettere e le diseguaglianze sono valide.

OT: certo che i tuoi esercizi nascondono sempre qualche risvolto a sorpresa!

EDIT: avevo scritto una grossa cavolata... non ho cancellato tutto perché ci potrebbe essere qualche spunto utile.
ciao.

[fu^2]

forse non è prorpio quello che cerchi, ma prova a vedere l'esercizio due (che quando l'ho visto nel mio compitino ho strabuzzato gli occhi) l'ultimo punto: il teorema di approssimazione di Dirichlet se consideri $alpha\in\RR\\QQ$ e $beta=-1$ puoi servirtene... o almeno è un caso particolare in quanto $beta $ non è a caso, però puoi generalizzare facilmente partendo da questo fatto sempre che non abbia detto una cavolata (nel caso scusami ) però così su due piedi non penso...


http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/g ... 08_sol.pdf

spero ti serva a qualcosa, ciao!

[Studente Anonimo]

Propongo una dimostrazione alternativa di questo fatto:

"dissonance":dati due numeri $alpha, beta>0$ incommensurabili ($alpha/beta$ è irrazionale) dimostrare che l'insieme ${alpham+betan\ |\ m, n\in ZZ}$ è denso in $RR$.

La nascondo:

Lemma 1: un sottogruppo additivo $G$ di $RR$ che ammette un punto di accumulazione in $RR-G$ è denso in $RR$.
Dim: se $x in RR-G$ è di accumulazione per $G$ allora esiste una successione $(x_n)_n$ in $G$ che converge a $x$, e in particolare non è definitivamente costante essendo $x notin G$. Ne segue che la successione non definitivamente costante $(x_n-x_{n-1})_n$ di $G$ converge a $0$, quindi esistono in $G$ elementi $g$ arbitrariamente vicini a zero. Ne segue che i sottogruppi $gZZ$ di $G$ sono arbitrariamente fitti in $RR$. Da cui la densità di $G$.

Lemma 2: un sottogruppo additivo $G$ di $RR$ che contiene tutti i suoi punti di accumulazione è del tipo $xZZ$ per qualche $x$.
Dim: l'insieme ${g in G\ |\ g>0}$ ammette minimo perché il suo inf è un punto di accumulazione per $G$ e quindi appartiene a $G$. Sia $x$ tale minimo. Allora $xZZ subseteq G$ perché $G$ è un sottogruppo; viceversa se esiste $g notin xZZ$ in $G$ allora detto $xz$ l'elemento di $xZZ$ più vicino a $g$ si ha $xz-g,g-xz in G$ e $0<|xz-g|
Lemma 3: se $alpha/(beta)$ è irrazionale, $ = {alpha m+beta n\ |\ m, n\in ZZ}$ è un sottogruppo additivo di $RR$ non del tipo $xZZ$.
Dim: che quello scritto sia un sottogruppo additivo di $RR$ è evidente. Supponiamo che sia del tipo $x ZZ$ con $x in RR$. Allora detto $gamma = alpha/(beta)$, anche $ = {gamma m + n\ |\ m,n in ZZ}$ è del tipo $x ZZ$ (scambiando $x$ con $x/(beta)$). Quindi esistono interi $u,v$ tali che $gamma = x u$ e $1 = x v$, il che contraddice l'irrazionalità di $gamma$.

Quindi: $$ è un sottogruppo additivo di $RR$ non del tipo $xZZ$ per il lemma 3, ne segue che non contiene tutti i suoi punti di accumulazione per il lemma 2, e quindi è denso per il lemma 1.

Spero che sia giusto, a me suona bene..

[dissonance]

@ Martino: Suona bene si... E mi pare che non faccia una piega. Mai preso in considerazione l'idea di scrivere un libro? Appena ho un po' di tempo leggo tutto più a fondo, comunque.

@ adaBTTLS: Ma quale sarebbe la cavolata? Anche io ero arrivato ad un risultato secondo cui il modulo a destra non era necessario: è questo che è falso?

[adaBTTLS1]

vedi al messaggio precedente, quando ho "ragionato prima di scrivere", quando ho fatto la differenza tra le due parti intere ho "prima" modificato le disuguaglianze per l'opposto della parte intera di beta, per poter poi fare la somma.

se devo confrontare i risultati di primo e ultimo rigo, devo ripetere lo stesso procedimento per una delle due disuguaglianze. dunque
$([alpha]-[beta])-[alpha-beta]$ viene, non compreso tra 0 e 1, ma, molto più "prosaicamente", compreso tra -1 e 2.
[risultato non molto significativo, applicato alle tue disuguaglianze].

OK? ciao.

[dissonance]

Ah si, quel -1, 2 salta fuori pure a me, ho capito l'inghippo. Ma secondo te, così a naso, la disuguaglianza che sto cercando di provare è falsa? Perché io su quella disuguaglianza ho fondato tutto lo svolgimento, ma ancora non sono riuscito a dimostrarla.

[adaBTTLS1]

puoi provare a cercare qualche eventuale controesempio. ci penserò. ciao.

[adaBTTLS1]

mi dispiace deluderti, ma ho trovato un controesempio.
$m=5, n=3, gamma=sqrt(2)$
$|(m-n)gamma-[(m-n)gamma]|=0.82... > 0.17...=|(m-n)gamma-([mgamma]-[ngamma])|$

ciao.

[Studente Anonimo]

"dissonance":Mai preso in considerazione l'idea di scrivere un libro?

Riguardo cosa?

[dissonance]

e vabbé, non sempre si può vincere! Vuol dire che getto tutto alle ortiche e imparo a memoria la dimostrazione di Martino, che sembra un libro stampato! Comunque (@adaBTTLS) mi hai fatto risparmiare un sacco di tempo trovando questo controesempio!!! Grazie!

[Studente Anonimo]

"dissonance":dimostrazione di Martino, che sembra un libro stampato!

Grazie comunque (ammesso che la dimostrazione non abbia falle) l'idea non me la sono inventata di sana pianta, diciamo che "so" che per studiare proprietà topologiche di sottogruppi conviene "trascinarsi" attorno a zero.

[dissonance]

"Martino":[quote="dissonance"]Mai preso in considerazione l'idea di scrivere un libro?

Riguardo cosa? [/quote]
Di cucina!

[adaBTTLS1]

prego!
l'ho trovato al primo tentativo, e non sono andata avanti per trovare un esempio contrario...

[adaBTTLS1]

se ti interessa, ho trovato altri due esempi:
la disuguaglianza contraria, quella che ti stava a cuore, è verificata per $m=5, n=3, gamma=sqrt(5)$, mentre le due espresioni sono uguali ad esempio per $m=4, n=3, gamma=sqrt(5)$
ciao.