Disuguaglianza triangolare

[DR1]

$ | x + y | <= |x| + |y| $, qual'è il procedimento logico per dimostrarla ?

[kobeilprofeta]

perchè, avendo $x>0$, $|x|>|y|$ e $y<0$, si ha $|x+y|
invece $|x|+|y|$ è la somma di due positivi, che dà sempre un positivo maggiore od uguale ad entrambi i numeri di partenza

[DR1]

Ma con i moduli $|$ $|$ , che senso ha parlare di segno, dato che $| r | = | -r |$
p.s. Mazzocca.il migliore

[kobeilprofeta]

Rileggi con attenzione ciò che ho scritto

[DR1]

Secondo me $ | x + y | <= | x | + | y | $ , perchè in $ | x + y | $ il valore assoluto $ | $ $ | $ viene considerato dopo avere fatto $ x + y $ , tenendo conto dei segni iniziali di $ x $ e $ y $, mentre in $ | x | + | y | $ vengono sommati $ x $ e $ y $ , non tenendo conto dei segni.
Quello che non capisco invece è questa disuguaglianza $ || x | - | y || <= | x - y | $

[gugo82]

Per dimostrare la disuguaglianza triangolare diretta si può ragionare più semplicemente, senza distinguere i segno degli argomenti.
Infatti, dato che $-|x|\leq x\leq |x|$ e $-|y|\leq y\leq |y|$*, sommando m.a.m. le due catene di disuguaglianze ottieni:
\[
-\Big( |x|+|y|\Big) \leq x+y\leq |x|+|y|\; .
\]
La disuguaglianza inferiore si riscrive $-(x+y)\leq |x|+|y|$, quindi dalla catena precedente segue che $\pm (x+y)\leq |x|+|y|$; la definizione di valore assoluto, i.e. $|x+y|:=\max \{ -(x+y),x+y\}$, allora importa $|x+y|\leq |x|+|y|$ (perché ognuno degli elementi dell'insieme di cui prendi il massimo è più piccolo $|x|+|y|$).

Per dimostrare la disuguaglianza triangolare inversa \(\Big| |x|-|y|\Big|\leq |x-y|\) basta usare opportunamente la disuguaglianza triangolare diretta (dtd) provata in precedenza.
Infatti hai:
\[
\begin{split}
|x|&=|(x-y)+y| \stackrel{\text{dtd}}{\leq} |x-y|+|y|\\
|y| &= |(y-x)+x| \stackrel{\text{dtd}}{\leq} |y-x|+|x|\; ;
\end{split}
\]
tanendo presente che $|y-x|=|x-y|$, portando $|y|$ e $|x|$ ai primi membri delle precedenti scopri che:
\[
\pm \Big( |x|-|y|\Big) \leq |x-y|
\]
cosicché, usando la definizione di valore assoluto hai \(\Big| |x|-|y|\Big|=\max \{-(|x|-|y|), |x|-|y|\}\leq |x-y|\), come volevi.


__________
* La disuguaglianza $-|x|\leq x\leq |x|$ si prova in maniera facile usando la definizione di valore assoluto, i.e. $|x|:= \max \{ x,-x\}$ (che è equivalente alla definizione data per casi): infatti dalla definizione segue che $x\leq \max\{x,-x\}=|x|$ e $-x\leq \max\{x,-x\}=|x|$, ossia $x\geq -|x|$; quindi $-|x|\leq x\leq |x|$.

[DR1]

Grazie, sei stato chiarissimo, ma continuo a non avere chiaro il concetto di modulo e di valore ossoluto; per questo motivo chiedo gentimelmente se puoi farmi degli esempi numerici:
$ |x+y| < |x|+|y| $, \( \Big| |x|-|y|\Big| < |x-y| \)

[gugo82]

Scusa, ma non vedo quale sia la difficoltà nel creare "esempi numerici" in quella situazione.
Prova da solo e, se trovi difficoltà, postale, così ne parliamo.

[DR1]

$ x = 5 , y = -2 $
$ |x + y | <= | x | + | y | $
$ |5 - 2| <= |5| + |-2|$
il passaggio successivo è:
$ |-3| <= |-3|$
o
$ |3| <= |7| $ perchè

[gugo82]

"DR1":$ x = 5 , y = -2 $
$ |x + y | <= | x | + | y | $
$ |5 - 2| <= |5| + |-2|$
il passaggio successivo è:
$ |-3| <= |-3|$
o
$ |3| <= |7| $ perchè

Hai:
\[
\begin{split}
x+y=5+(-2)=3\quad &\Rightarrow \quad |x+y|=|3|=3 \\
\left. \begin{split} |x|&=|5|=5 \\ |y|&=|-2|=2\end{split} \right\} \quad &\Rightarrow \quad |x|+|y|=5+2=7
\end{split}
\]
quindi:
\[
|x+y|=3\leq 7= |x|+|y|\; ,
\]
proprio come ti dice il teorema.

[DR1]

Quindi $ ||\vec x|| $ e $ | x | $ sono conceti diversi.

[gugo82]

Non vedo cosa c'entri la parola "concetto" in questo contesto... Casomai, per fissato $x$, i due numeri $|x|$ e \(\big| |x|\big|\) sono valori di due diverse funzioni; tuttavia, per la stessa definizione di valore assoluto, si ha \(\big| |x|\big| = |x|\) (riesci a dimostrarlo da solo?).


P.S.: Perdona la domanda, ma sei uno studente universitario o secondario?


EDIT: Ah, no aspetta!
Il browser visualizzava male le formule... Quindi ora vedo che stavi chiedendo se il valore assoluto e la norma di un vettore siano la stessa cosa.
Ovviamente no, in generale non lo sono.
Infatti, il valore assoluto è una funzione definita in \(\mathbb{R}\) a valori in \([0,+\infty[\);
\[
|\cdot |: \mathbb{R}\ni x \mapsto \max \{ x,-x\}\in [0,+\infty[\; ;
\]
mentre la norma euclidea è una funzione definita in \(\mathbb{R}^N\), con \(N\in \mathbb{N}\setminus\{0\}\), a valori in \([0,+\infty[\):
\[
\|\cdot \| : \mathbb{R}^N \ni x=(x_1,\ldots ,x_N)\mapsto \sqrt{x_1^2+\cdots +x_N^2}\in [0,+\infty[\; .
\]
Però, se \(N=1\), allora \(\| x\| =|x|\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\) (perché \(\| x\|=\sqrt{x^2}=|x|\)): quindi, in un certo senso, la norma euclidea \(\|\cdot \|\) è una generalizzazione della funzione valore assoluto \(|\cdot |\) a spazi di dimensione maggiore di \(1\).

Quest'ultima frase giustifica anche un abuso di notazione che si ritrova in molti testi, cioè il simbolo \(|\cdot |\) che viene usato per denotare la norma euclidea al posto di \(\| \cdot\|\) (simbolo che viene riservato per norme diverse da quella euclidea, e.g. \(\| x\|_1=\sum_{n=1}^N |x_n|\)).