Disuguaglianza per induzione

[injury]

Teorema: $1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n < 1$ for all $n>=1$.

Proof: How we can extend it to include the n+1th term? Adding $1/2^(n+1)$ to the left hand side may potentially increase the sum to more than 1. The trick here is to apply the induction in a different order.Given the sum
$1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n +1/2^(n+1)$

we look at the last n terms:

$1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n +1/2^(n+1) = 1/2( 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n ) < 1/2$ by the induction hypothesis.

Fin qui tutto ok, quella relazione è vera per quella roba dentro la parentesi è minore ad un 1 per la nostra ipotesi, poi però viene conclusa la dimostrazione con:

But now we can add $1/2$ to both side and get the expression (2.2) for $n+1$.

Bene, qui mi perdo... c'è qualcuno che mi sa esplicitare l'ultimo passaggio?

[kobeilprofeta]

Se hai capito che $1/4+1/8+...+frac{1}{2^n}+frac{1}{2^{n+1}}<1/2$ è finita... infatti
$1/2+1/4+1/8+...+frac{1}{2^n}+frac{1}{2^{n+1}}=1/2+[1/4+1/8+...+frac{1}{2^n}+frac{1}{2^{n+1}}]<1/2+1/2=1$

[injury]

Aaah giusto, aggiungendo 1/2 ad entrambe la disuguaglianza (restando vera) diventa quella che volevo trovare per n+1. Ok, mi ero perso in un bicchiere d'acqua

[kobeilprofeta]

esatto