Disuguaglianza (esponenziale, fattoriale)

[angus89]

dovre dimostrare la seguente disuguaglianza...
$n^n<=(n!)^2$

Io ci sto provando per induzione da un'ora e credo la strada sia quella ma arrivo sempre in vicoli ciechi.

[Lord K]

Faccio un tentativo:
$n=1$ è ovvio, quindi passo al passo induttivo:

$P(n) Rightarrow P(n+1)$

consideriamo:

$(n+1)^(n+1) = (n+1)(n+1)^n = n^n*(n+1)*(1+1/n)^n$

da questo abbiamo che $(1+1/n)^n <= e$, dunque:

$(n+1)^(n+1) <= e* n^n*(n+1) <= e*(n!)^2*(n+1)$

ma da questo siccome $n>1 Rightarrow n+1>e$

$(n+1)^(n+1) <= e* n^n*(n+1) <= e*(n!)^2*(n+1) <= (n!)^2*(n+1)^2 = ((n+1)!)^2$

Cosa ne pensi?

[angus89]

grazie mille...credo..anzi son sicuro torni tutto

[Sk_Anonymous]

Ci sarebbe anche una soluzione senza l'induzione ed assai semplice.
Partiamo dal fatto,facilmente dimostrabile ,che nella successione dei numeri naturali da 1 ad n (con n>2)
il prodotto degli estremi 1*n è minore del prodotto di due qualunque termini della
successione ,equidistanti dagli estremi.
Cio posto abbiamo che:
$(n!)^2=[1*2*...*(n-1)*n]*[n*(n-1)*...*2*1]=[1*n][2*(n-1)]*...*[(n-1)*2][n*1]>[n*1]^n$
da cui appunto $(n!)^2>n^n$
Non ho preso in considerazione l'eguaglianza dato che questa si presenta solo per n=2