[Distribuzioni]Definizione

[Otherguy2k]

Salve ragazzi,ho dei grossi dubbi sulla definizione di distribuzione.
Il nostro prof ha introddo il concetto a partire dalla spazio delle funzione test, e fin qui tutto ok,poi ha definito distribuzione ogni funzionale lineare e continuo definito sullo spazio delle funzioni test,e ci ha anche detto che data una certa funzione $f$ di quadrato integrabile ad essa resta associato il funzionale:
$int_{-oo}^{+oo}f(t)v(t)dt$ con $v$ funzione test.
Dopodichè ha afferamato e provato che questo funzionale è una distribuzione.
A questo punto ci ha detto che non tutte le distribuzioni provengono da funzioni sommabili,come ad esempio la delta di dirac,nonostante questo però ha posto:
$int_{-oo}^{oo}delta(x-x_o)v(x)dx=v(0)$
ora non capisco perchè ha usato ancora l'integrale?
Cioè il funzionale chi è la delta o l'integrale?
E poi nel caso di funzioni sommbili la distribuzione è la funzione $f$ sotto l'integrale o l'integrale?
Saranno sicuramente quesiti banali ma sto facendo un sacco di confusione ,ho consultato anche i libri di testo ma introducono tutti il discorso in questo modo qualcuno potrebbe chiarirmi le idee cortesemente?
Ringrazio in anticipo per le eventuali risposte.

[Kroldar]

Il funzionale è la delta.

La confusione nasce dal fatto che, per le funzioni ordinarie, tu puoi calcolarne il valore in corrispondenza di un qualunque elemento del proprio dominio. Ad esempio, se $f$ è una funzione il cui dominio contiene il punto $7$, tu puoi calcolare il valore il valore di $f$ in corrispondenza di $7$ (tale valore sarà ancora numerico) e scrivere $f(7)$ per indicare questa operazione.

Con le distribuzioni questo discorso non puoi farlo. Non puoi calcolare il valore che una distribuzione assume in un punto, semplicemente perché una distribuzione non mappa numeri (reali o complessi) in altri numeri. Le distribuzioni agiscono su altre funzioni (funzioni test). Per sapere come agisce una distribuzione su una funzione test devi fare quell'integrale. Scrivere ad esempio $delta(7)$ è sbagliato, anzi, non ha senso. Per sapere come una funzione ordinaria agisce su un numero, tu prendi il numero in questione e lo sostituisce nell'espressione della funzione. Per sapere invece come una distribuzione agisce su una funzione test, non puoi prendere la funzione test e buttarla nella distribuzione (anche perché cosa vai a sostituire?!) ma devi fare l'integrale.

Ho cercato di essere il più semplice possibile. Dì pure se non sono stato chiaro.

[Chevtchenko]

Se desideri una risposta autorevole (non che quella di Kroldar non lo sia!) ai tuoi quesiti, puoi consultare il testo Théorie des distributions di Laurent Schwartz, che sarà sicuramente in possesso della biblioteca del tuo dipartimento.

[Chevtchenko]

"Kroldar":Per sapere invece come una distribuzione agisce su una funzione test, non puoi prendere la funzione test e buttarla nella distribuzione (anche perché cosa vai a sostituire?!) ma devi fare l'integrale.

Beh, però questa affermazione non è corretta (almeno non del tutto)...

[Kroldar]

"Sandokan.":
Beh, però questa affermazione non è corretta (almeno non del tutto)...

E cosa c'è che non va secondo te?

[Fioravante Patrone1]

"Otherguy2k":
A questo punto ci ha detto che non tutte le distribuzioni provengono da funzioni sommabili,come ad esempio la delta di dirac,nonostante questo però ha posto:
$int_{-oo}^{oo}delta(x-x_o)v(x)dx=v(0)$
ora non capisco perchè ha usato ancora l'integrale?

L'uso dell'integrale, qui, non ha senso ( e "verrebbe" $v(x_0)$, ma penso sia un errore di stampa). Devo anche dire che si tratta di un "abuso di notazione" che si vede spesso...


In generale, cosa è una distribuzione lo dici tu qui: "funzionale lineare e continuo definito sullo spazio delle funzioni test" (anche se la definizione di continuità è un po' delicata).

La distribuzione detta "delta di Dirac centrata in $x_0$" è il funzionale che ad una $v$ (funzione test ammissibile) associa $v(x_0)$.

Come dici tu, se hai una funzione $f$ "ragionevole", essa individua una distribuzione (chiamiamola $D_f$, ti va?) mediante un integrale, così:

$D_{f} (v) = int_{-oo}^{+oo}f(t)v(t)dt$

"Otherguy2k":
E poi nel caso di funzioni sommbili la distribuzione è la funzione $f$ sotto l'integrale o l'integrale?

Formalmente sono cose diverse ma, per molti fini possono la distribuzione e la funzione essere visti come "la stessa cosa" (occhio, però: sono e restano cose distinte, quindi muoviti con cautela, per lo meno all'inizio).

Se non sei un (aspirante) matematico, ti sconsiglio di andare ad impelagarti sullo Schwartz. Ammiro l'opera di Laurent, ma non è facilmente abbordabile.

[Otherguy2k]

Anzitutto vi ringrazio per le risposte.
Sto iniziando a capire,la cosa che mi suscitava maggiori dubbi era prorio l'uso dell'integrale con la delta di Dirac,quindi diciamo volendo essere un pelo più corretti posso scrivere semplicemente:
$delta(x-x_0):vinD(RR)->v(x_0)$
Giusto?

[Fioravante Patrone1]

"Otherguy2k":Anzitutto vi ringrazio per le risposte.
Sto iniziando a capire,la cosa che mi suscitava maggiori dubbi era prorio l'uso dell'integrale con la delta di Dirac,quindi diciamo volendo essere un pelo più corretti posso scrivere semplicemente:
$delta(x-x_0):vinD(RR)->v(x_0)$
Giusto?

Esatto.

Personalmente, io userei altre notazioni.

Ad esempio: $\Delta_{x_0}$ per indicare la distribuzione individuata dalla delta di Dirac "centrata" in $x_0$.
Nulla di male con la tua notazione, ma è solo per "staccarsi" di più dalla idea che la delta di Dirac sia una funzione.

Soprattutto, non vedo perché usare $D(RR)$. A me ricorda "distribuzione".
Ma una distribuzione è un funzionale che opera sull'insieme delle funzioni "test" e quindi perché non usare il simbolo $T(RR)$?
Ovviamente è solo questione di gusti, ma a volte dietro ai gusti potrebbe esserci un fraintendimento.

Insomma, la "delta di Direc centrata in $x_0$" è la funzione $\Delta_{x_0} : T(RR) -> RR$, così definita (per $v \in T(RR)$):
$\Delta_{x_0} (v) = v(x_0)$

Ciao

[Kroldar]

In realtà, per come lo hanno insegnato a me, il modo corretto per indicare le distribuzioni (che vale per qualunque distribuzione, anche oggetti esoterici come la delta di Dirac) è l'utilizzo del crochet $<>$.

Ad esempio si scrive
$ = phi(0)$

[Otherguy2k]

"Kroldar":In realtà, per come lo hanno insegnato a me, il modo corretto per indicare le distribuzioni (che vale per qualunque distribuzione, anche oggetti esoterici come la delta di Dirac) è l'utilizzo del crochet $<>$.

Ad esempio si scrive
$ = phi(0)$

Sisi anche il mio prof ci ha detto di adottare questa notazione, io intendevo individuare solo come agiva la delta su una generica funzione test visto che l'integrale è un abuso di notazione come mi ha spiegato Fioravante Patrone ^^

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":In realtà, per come lo hanno insegnato a me, il modo corretto per indicare le distribuzioni (che vale per qualunque distribuzione, anche oggetti esoterici come la delta di Dirac) è l'utilizzo del crochet $<>$.

Ad esempio si scrive
$ = phi(0)$

ZUT!
Bacchettata sulle dita (come vorrei essere stato prof in altri tempi!)...

In mate vi è una notazione "universale" (al 99.999%), che riguarda le funzioni.

Che si indicano così:

$f:A -> B$

O in altri modi (tipo mettere la "f" sopra la freccia), ma siamo sempre lì.

e il valore di una funzia in un punto $a \in A$ è $f(a)$.

Che, poi, in certi ambiti particolari si usino notazioni specifiche, come il "crochet" (che poi vuol dire "uncinetto", a Genova si usa!) ok.
Tra l'altro, il "crochet" non è $<>$, ma "\langle" e "\angle" (voir ici: http://smf.emath.fr/Publications/Formats/f-doc.pdf pagina 4))

Ad esempio, in TdG, come ben sai, invece di scrivere $v({1,2,3}$, scriviamo: $v(123)$
Ma io non oserei mai dire che la notazione che tradizionalmente si usa in TdG è la notazione corretta

Ciao!

[Kroldar]

Il mio professore ci teneva molto a che usassimo il crochet, pertanto pensavo fosse la notazione ortodossa per le distribuzioni.
Allora come non detto, pardon!

[Fioravante Patrone1]

Kroldar,
non vorrei creare confusione, solo per amore di polemica frizzantina.

Quella col crochet è la notazione più diffusa, da quel che mi risulta.
Ed è certamente corretta. Non solo, è bene sapere che esiste e penso sia anche bene abituarsi ad usarla.

E' che può esservi più di una notazione corretta. Ho "reagito" solo per sottolineare che la notazione standard per le funzioni si può usare, volendo. Come si può scrivere $a(n)$ invece del tradizionale $a_n$ per indicare il termine di una successione.

Buon anno!

[Otherguy2k]

Tornando alla mia osservazione c'e qualcosa da correggere?
Scusate se faccio tutte queste domande ma mi sto preparando per l'esame è vorrei avere tutto chiaro.

[Fioravante Patrone1]

Non capisco a cosa ci sia da rispondere. Puoi precisare su cosa è il tuo dubbio? Parli di "osservazione" ma non capisco a cosa ti riferisci.

[Kroldar]

@Fioravante
Ah ecco, ora è tutto chiaro.

"Fioravante Patrone":
Buon anno!

Anche se un po' in ritardo, buon anno anche a te!!

[Otherguy2k]

"Fioravante Patrone":Non capisco a cosa ci sia da rispondere. Puoi precisare su cosa è il tuo dubbio? Parli di "osservazione" ma non capisco a cosa ti riferisci.

Perdonami mi era sfuggito il tuo reply ,alla mia osservazione circa la notazione della delta

[Otherguy2k]

Rieccomi con un nuovo dubbio:la convoluzione di distribuzioni.
Primo caso:
Convoluzione diuna distribuzione x(t) per una funzione test $v(t)$:
$x(t)**v(t)=int_{-oo}^{+oo}x(t-tau)y(tau)d(tau)$
Dove il funzionale associato a $x(t-tau)$ è prorio l'integrale se $x(t-tau)$ è "regolare" altrimenti è un generico funzioanle, correggetemi se dico ca...e.
Secondo caso:
Convoluzione di due distribuzioni $x(t),y(t)$:
$()=[x(t)**(y(t)**v(-t))]_{t=0}$
E questa formula non riesco proprio a interpretarla, cioè cosa rappresenta formalmente?
Chiedo nuovamente il vostro aiuto e mi scuso se sto facendo domande a raffica, ma quest'argomento mi risulta abbastanza ostico e purtroppo sui libri di testo suggeriti dal docente tratta tutto in maniera analoga a quanto fatto a lezione.
PS:il libro consigliato da Sandokan credo non sia in italiano , dunque al momeno non è abbordabile per me avendo l'esame a breve non ho il tempo di tradurre prima e poi cercar di capire,visto che tra l'altro è anche abbastanza "tosto" come ha detto Fioravante Patrone:()

[Fioravante Patrone1]

Ti suggerirei di guardare qui, dove la convoluzione di due distribuzioni è spiegata in abbastanza poche righe:


EDIT: per il link funzionante vedi il post di Tipper

[_Tipper]

Mi permetto di inserire il link funzionante.

http://en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathematics)#Compact_support_and_convolution

[Otherguy2k]

Bene grazie ragazzi per le vostre risposte pian piano sto iniziando a capire un po le cose