Disequazioni di secondo grado e numeri immaginari
Buon pomeriggio a tutti!
Non so se questa é la sezione giusta,ma dato che l'argomento é piuttosto semplice,spero che potrò trovare comunque una risposta.
Rispondendo ad una domanda sul servizio Answer di Yahoo! mi é crollata la convinzione di essere "brava in matematica". Scusate il termine,ma non riuscivo a trovarne un sinonimo.
Avrei,quindi,bisogno di un supporto per capire se quanto affermavo era corretto o completamente sbagliato e dove -eventualmente- mi sbaglio.
Veniamo al punto. Si chiedeva di risolvere la seguente disequazione:
$ x^2 $ -7x+20>0
Il delta é negativo e la disequazione é maggiore di zero,quindi l'insieme dei punti che soddisfa la disequazione é data da $RR$ .
Ok.
Ma se io risolvo come fosse un'equazione,trovo due valori di x che corrispondono a
$ 7 / 2 $ -( $ 1 / 2 $ i) $ sqrt(31) $ , $ 7 / 2 $ +( $ 1 / 2 $ i)$ sqrt(31) $,
Dove i= numero immaginario
[ragazzi,ci ho provato a scriverlo per bene,ma mi sono un pò persa nel linguaggio...spero che si capisca ]
Quindi...
Posso risolvere la disequazione ponendo x1 ed x2 rispettivamente minore e maggiore dei due valori, oppure la soluzione rimane sempre e comunque tutto $RR$?
Per quale motivo?
Vi ringrazio di cuore per la pazienza infinita.
Giulia
ps. Ho risolto l'equazione con Maple13.
Non so se questa é la sezione giusta,ma dato che l'argomento é piuttosto semplice,spero che potrò trovare comunque una risposta.
Rispondendo ad una domanda sul servizio Answer di Yahoo! mi é crollata la convinzione di essere "brava in matematica". Scusate il termine,ma non riuscivo a trovarne un sinonimo.
Avrei,quindi,bisogno di un supporto per capire se quanto affermavo era corretto o completamente sbagliato e dove -eventualmente- mi sbaglio.
Veniamo al punto. Si chiedeva di risolvere la seguente disequazione:
$ x^2 $ -7x+20>0
Il delta é negativo e la disequazione é maggiore di zero,quindi l'insieme dei punti che soddisfa la disequazione é data da $RR$ .
Ok.
Ma se io risolvo come fosse un'equazione,trovo due valori di x che corrispondono a
$ 7 / 2 $ -( $ 1 / 2 $ i) $ sqrt(31) $ , $ 7 / 2 $ +( $ 1 / 2 $ i)$ sqrt(31) $,
Dove i= numero immaginario
[ragazzi,ci ho provato a scriverlo per bene,ma mi sono un pò persa nel linguaggio...spero che si capisca
]Quindi...
Posso risolvere la disequazione ponendo x1 ed x2 rispettivamente minore e maggiore dei due valori, oppure la soluzione rimane sempre e comunque tutto $RR$?
Per quale motivo?
Vi ringrazio di cuore per la pazienza infinita.
Giulia
ps. Ho risolto l'equazione con Maple13.
Risposte
Ti sei mai interrogata sul significato geometrico di quella tecnica per risolvere disequazioni di secondo grado? Vediamo un esempio.
[asvg]axes(); plot("x^2+3x-1"); text([-2, 1], "y=x^2+3x-1");[/asvg]
Vogliamo risolvere $x^2+3x-1>=0$; questo è il grafico della funzione $f(x)=x^2+3x-1$. Geometricamente si tratta di trovare gli intervalli reali in corrispondenza dei quali quella parabola "sta sopra" l'asse delle $x$. Mediante la nota formula possiamo trovare gli zeri di $f$, ovvero i valori di $x$ per cui il grafico interseca l'asse delle $x$, e analizzando il segno del termine direttivo possiamo capire che l'insieme delle soluzioni è $(-\infty, x_1] uu [x_2, +\infty)$.
Vediamo ora il grafico relativo al tuo problema.
[asvg]ymin=0; ymax=25;xmin=-5; xmax=20; axes(); plot("x^2 -7x+20");[/asvg]
Vedi, la parabola è sempre "sopra" l'asse delle $x$, ecco perché l'insieme delle soluzioni è tutto $RR$. Quando provi ad applicare il metodo di sopra, la formula risolutiva (o Maple) ti restituiscono numeri complessi, segno che non ci sono zeri reali di $f(x)$. Ecco quindi che la tua soluzione è corretta.
[asvg]axes(); plot("x^2+3x-1"); text([-2, 1], "y=x^2+3x-1");[/asvg]
Vogliamo risolvere $x^2+3x-1>=0$; questo è il grafico della funzione $f(x)=x^2+3x-1$. Geometricamente si tratta di trovare gli intervalli reali in corrispondenza dei quali quella parabola "sta sopra" l'asse delle $x$. Mediante la nota formula possiamo trovare gli zeri di $f$, ovvero i valori di $x$ per cui il grafico interseca l'asse delle $x$, e analizzando il segno del termine direttivo possiamo capire che l'insieme delle soluzioni è $(-\infty, x_1] uu [x_2, +\infty)$.
Vediamo ora il grafico relativo al tuo problema.
[asvg]ymin=0; ymax=25;xmin=-5; xmax=20; axes(); plot("x^2 -7x+20");[/asvg]
Vedi, la parabola è sempre "sopra" l'asse delle $x$, ecco perché l'insieme delle soluzioni è tutto $RR$. Quando provi ad applicare il metodo di sopra, la formula risolutiva (o Maple) ti restituiscono numeri complessi, segno che non ci sono zeri reali di $f(x)$. Ecco quindi che la tua soluzione è corretta.
Ciao e grazie per avermi risposto.
Sì,mi ero interrogata sul significato geometrico. In seguito a questo é facile capire come mai valga tutto $RR$.
Il problema é che mi sfugge il motivo per cui posso trovare due soluzioni con la parte immaginaria... forse da questo punto di vista,la mia conoscenza matematica non é così forte.
Trasformando la disequazione in un'equazione e ponendola uguale a zero,io sto cercando i valori delle x per cui la funzione "sta sull'asse delle x",cioé la funzione appunto é pari a zero. Giusto? Ma nel caso da me esposto,la funzione non tocca mai l'asse delle x,quindi quei due valori (con parte immaginaria) che dà il mio programma cosa rappresentano? Sono due soluzioni utilizzabili anche per la disequazione oppure no?
Scusatemi,ma quando frana un pò di terra sotto i piedi si inizia a dubitare anche del fatto che 2+2 sia pari a 4!
Sì,mi ero interrogata sul significato geometrico. In seguito a questo é facile capire come mai valga tutto $RR$.
Il problema é che mi sfugge il motivo per cui posso trovare due soluzioni con la parte immaginaria... forse da questo punto di vista,la mia conoscenza matematica non é così forte.
Trasformando la disequazione in un'equazione e ponendola uguale a zero,io sto cercando i valori delle x per cui la funzione "sta sull'asse delle x",cioé la funzione appunto é pari a zero. Giusto? Ma nel caso da me esposto,la funzione non tocca mai l'asse delle x,quindi quei due valori (con parte immaginaria) che dà il mio programma cosa rappresentano? Sono due soluzioni utilizzabili anche per la disequazione oppure no?
Scusatemi,ma quando frana un pò di terra sotto i piedi si inizia a dubitare anche del fatto che 2+2 sia pari a 4!
Vediamo se riesco a spiegarmi bene...
La mia disequazione non prevede zeri in $RR$ e quindi si dice che vale per tutto $RR$.
Se però procedo con la risoluzione,trovo due soluzioni con parte immaginaria, che per loro natura non appartengono a $RR$,giusto?
Perciò possiamo dire che la funzione non ha zeri in $RR$,ma ne ha due nell'insieme dei numeri immaginari (scusate,vuoto di memoria: non ricordo dove stanno di preciso).
Non capisco come sia possibile ottenere questi diversi esiti. O meglio... quale é la risposta corretta alla disequazione?
La mia disequazione non prevede zeri in $RR$ e quindi si dice che vale per tutto $RR$.
Se però procedo con la risoluzione,trovo due soluzioni con parte immaginaria, che per loro natura non appartengono a $RR$,giusto?
Perciò possiamo dire che la funzione non ha zeri in $RR$,ma ne ha due nell'insieme dei numeri immaginari (scusate,vuoto di memoria: non ricordo dove stanno di preciso).
Non capisco come sia possibile ottenere questi diversi esiti. O meglio... quale é la risposta corretta alla disequazione?
Erano più o meno queste le domande che si ponevano i padri del sistema numerico complesso, ed è per questo motivo che hanno scelto di chiamarli anche "immaginari". Nel nostro esempio delle equazioni reali di secondo grado, le soluzioni complesse non hanno significato geometrico: potremmo dire che non ci sono soluzioni, ma immaginiamo che ce ne siamo, e costruiamo un sistema numerico ampliato in modo da ospitarle in modo coerente.
P.S.: Rispondevo al tuo penultimo messaggio.
P.S.: Rispondevo al tuo penultimo messaggio.
Perciò potremmo dare entrambe le soluzioni?
Ovvio,come prima cosa stabilire che vale per tutti i valori x appartenenti a $RR$ e poi aggiungere che "se proprio vogliamo trovare una soluzione numerica" dobbiamo affidarci ai numeri immaginari. E' così?
Ovvio,come prima cosa stabilire che vale per tutti i valori x appartenenti a $RR$ e poi aggiungere che "se proprio vogliamo trovare una soluzione numerica" dobbiamo affidarci ai numeri immaginari. E' così?
No. Non va bene perché i numeri complessi non sono ordinati, quindi le disequazioni non hanno alcun significato in $CC$
Se vuoi risolvere la disequazione devi restare nei numeri reali, se parli di numeri complessi allora ti devi limitare a risolvere l'equazione associata.
Se vuoi risolvere la disequazione devi restare nei numeri reali, se parli di numeri complessi allora ti devi limitare a risolvere l'equazione associata.
No, sei fuori strada. Stai confondendo due problemi molto diversi:
- data una funzione $f: RR \to RR$,
[*:z8gxlzuo]primo problema, risolvere $f(x)=0$;[/*:m:z8gxlzuo]
[*:z8gxlzuo]secondo problema, trovare per quali $x$ è $f(x)>=0$.[/*:m:z8gxlzuo][/list:u:z8gxlzuo]
I numeri complessi possono intervenire nel primo, ed è quello che dici nell'ultimo post, per cui di fronte al primo problema potresti trovarti a rispondere
"il problema non ha soluzioni reali, ma ammettendo numeri complessi ha le soluzioni tot e tot".
Questo certamente non succederà nel secondo problema: non ha infatti alcun senso parlare di ordine ($<, <=$) di numeri complessi (cosa significherebbe dire che $1$ è più piccolo di $i$, per esempio?). Quindi nel secondo caso i numeri complessi restano fuori dalla porta.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente ad @melia. Sono contento di avere detto grosso modo la stessa cosa sua.
"dissonance":
P.S.: Scrivevo contemporaneamente ad @melia. Sono contento di avere detto grosso modo la stessa cosa sua.
ma certo con molta più eleganza!
Ok ... beh,allora ero andata fuori strada e avevo messo insieme due cose che non potevano essere messe insieme.
Ne concludo quindi che i numeri complessi non possono essere utilizzati come soluzione di disequazioni,ma solo di equazioni. Ora va bene?
ps. non sono liceale da ormai 6 anni,i numeri complessi li ho affrontati l'ultima volta 5 anni fa,quindi forse é "normale" che abbia fatto un pò di confusione. La matematica che tratto tutti i giorni è diversa (sono economista),ma ero solo curiosa di capire dove stavo sbagliando.
Vi ringrazio per le risposte...un pò di terra é crollata sotto i piedi,ma ora ho rinforzato le mie conoscenze!
Ne concludo quindi che i numeri complessi non possono essere utilizzati come soluzione di disequazioni,ma solo di equazioni. Ora va bene?
ps. non sono liceale da ormai 6 anni,i numeri complessi li ho affrontati l'ultima volta 5 anni fa,quindi forse é "normale" che abbia fatto un pò di confusione. La matematica che tratto tutti i giorni è diversa (sono economista),ma ero solo curiosa di capire dove stavo sbagliando.
Vi ringrazio per le risposte...un pò di terra é crollata sotto i piedi,ma ora ho rinforzato le mie conoscenze!
"@melia":[OT] Mi fa piacere che ti sia piaciuto (
ma certo con molta più eleganza!
). Trovo sempre difficile spiegarmi in modo didattico, come invece tu sai fare benissimo, specialmente sugli argomenti di base. [/ OT ]@Julia: Non è difficile rendersi conto (e ricordare) che i numeri complessi non sono compatibili con le disuguaglianze. Basta pensare a $i^2=-1$. Se ci fossero disuguaglianze con i numeri complessi, dovremmo necessariamente dire che $i^2<0$: un quadrato negativo, assurdo.
Per persone che "masticano" questa materia ogni giorno può risultare facile,ma per chi (come me) studia altre cose e lascia questi argomenti come una curiosità,beh... non è semplice come sembra a te
Ci sono modi di ragionare sulla matematica che si dimenticano affrontando altri studi.
Se poi leggo,riesco anche a capire,ma altrimenti le cose non mi saltano in mente ovvie come a te!
La facilità di un pensiero é del tutto relativa
Vi ringrazio comunque per la vostra disponibilità.
Ci sono modi di ragionare sulla matematica che si dimenticano affrontando altri studi.
Se poi leggo,riesco anche a capire,ma altrimenti le cose non mi saltano in mente ovvie come a te!
La facilità di un pensiero é del tutto relativa
Vi ringrazio comunque per la vostra disponibilità.
Hai perfettamente ragione e io spero di non averti offeso con quel "non è difficile". Si tratta comunque soltanto di una incomprensione, dovuta alla comunicazione scritta e non verbale. Quello che volevo dare era solo un suggerimento di tipo pratico, più che altro un trucco, del tipo: "se un giorno ti trovassi su un'isola deserta, con l'impellente necessità di sapere se si possono definire in modo sensato delle disuguaglianze con i numeri complessi ( ), ricordati di $i^2=-1$".
), ricordati di $i^2=-1$".
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