Diseguaglianza di Bernoulli per induzione

[marcus1121]

$(1+a)^n>=1+na$ per $n >=0, {$a $in$ R$,a>=-1$}


Verifichiamo P1: $(1+a)^1>=1+1(a)=1+a=1+a$ quindi vero.

Supponiamo vero $P(n)$ dimostriamo $P(n+1)$

$(1+a)^(n+1)=(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)=1+a+na+na^2=1+a(n+1)+na^2>=1+a(n+1)$


Quello che non capisco...., perchè principiante è questo: come mai non si scrive così: $(1+a)^n(1+a)>=1+(n+1)a$?
Praticamente $(1+na)$ viene moltiplicato per $(1+a)$. Non si doveva sostituite $P(n)$ con $P(n+1)$ Da dove salta fuori $(1+a)$
Vorrei capirci con chiarimenti semplici.

Grazie

[robbstark1]

$P(n): (1+a)^n >= 1+na$ si assume vero, come hai detto detto tu.
Si deve dimostrare che allora è vero $P(n+1)$, cioè:
$(1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a$
Per dimostrarlo però si deve fare qualche passaggio. Infatti se leggi il primo membro e l'ultimo della catena di uguaglianze e disuguaglianze che hai scritto, ritrovi $P(n+1)$.

[marcus1121]

mi dispiace ma non ho capito...puoi essere più chiaro?

grazie comunque

[robbstark1]

Prova a dirmi come eseguiresti tu questa dimostrazione per induzione. Altrimenti non so proprio cosa dire.

[marcus1121]

Cerco di spiegarmi...sostituendo P(1) con P(n+1) non doveva essere così:

$(1+a)^(n+1)= (1+a)^n(1+a) $

$(1+a)^n(1+a)>=1+(n+1)a $

nella dimostrazione che si trova sui libri invece è così:

$(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a) $

Perchè il primo termine della dideguaglianza è elevato a $(n+1)$ e il secondo anzi viene moltiplicato per $(1+a)$

Spero di essere stato chiaro

[robbstark1]

Sostituendo $n$ con $n+1$ viene come dici tu. Ma per arrivare a scrivere quella cosa bisogna prima dimostrarla.
$(1+a)^n (1+a)>= (1+na)(1+a)$ si ottiene sostituendo $(1+a)^n >= 1+na$
Poi svolgi il prodotto:
$(1+na)(1+a)=1+na+a+na^2$
ma
$1+na+a+na^2 >= 1+na+a=1+(n+1)a$
Quindi:
$(1+a)^n (1+a)>= 1+(n+1)a$ che è il punto dove volevamo arrivare.

[marcus1121]

Grazie per i chiarimenti...ma la mia domanda è: come mai$ (1+na)$ viene moltiplicato per $(1+a)$?

nel primo termine $(1+a)^(n+1)$ capisco che è = $(1+a)^n(1+a)$ ma il secondo termine moltiplicato per $(1+a)$ non lo comprendo anche se so che è giusto fare così.

Grazie per la collaborazione

PS mi sai indicare un libro con le dimostrazioni per induzione svolte? Io ne uso uno ma non è molto chiaro...

[G.D.5]

L'induzione dice che $(1+a)^n>=1+na$. Tu vuoi provare la disuguaglianza con $n+1$: questo non significa che prendi $n+1$ e lo sostituisci con $n$ (sarebbe troppo banale), ma significa che parti da uno dei termini presnenti nella base dell'induzione usando $n+1$ al posto di $n$. In questo caso partiamo da $(1+a)^n$: dovendo usare $n+1$ partiamo allora da $(1+a)^(n+1)$ che per le proprietà delle potenze è uguale a $(1+a)^n (1+a)$; a questo punto prendiamo $(1+a)^n>=1+na$, che è vera per ipotesi induttiva, e ci chiediamo come fare uscire fuori $(1+a)^(n+1)$ dal momento che non possiamo solo scambiare $n$ con $n+1$; poiché abbiamo detto che $(1+a)^(n+1)=(1+a)^n (1+a)$ e notiamo che $1+a>0$, moltiplichiamo LHS e RHS per $1+a$, ottenendo $(1+a)^n (1+a) >= (1+na) (1+a)$.
Chiaro?

[Andrewnow]

Salve a tutti ! nemmeno io riesco a capire come mai(1+na) viene moltiplicato per (1+a)?
cioe' se io devo dimostrare che e' valida per p(n+1) io vorrei capire come mai poi all'improvviso mi sbuca fuori questo (1+a) ...ci ho ragionato sopra ma non ho capito il motivo:

(1+a)^n≥1+na per n≥0,{a ∈ R,a≥−1}
(1+a)^n+1=(1+a)^n(1+a) fino a qua ci sono poi pero' guardando alcuni libri mi ritrovo:
(1+a)^n(1+a)≥(1+na[size=150])(1+a)[/size] e proprio qui vorrei magari che qualche buona anima mi spiegasse in maniera esaustiva il motivo ...
qualcuno riesce a spiegarmi passo a passo il motivo????

[gugo82]

Beh, hai:
\[
(1+a)^{n+1}=(1+a)^n\ (1+a)\stackrel{\text{Hp indutt.}}{\geq} (1+na)\ (1+a)=\cdots
\]

[Maci86]

Il passo induttivo consiste nel dimostrare che, essendo vero che la regola vale per n, allora la regola vale per n+1. Vediamo nel caso specifico:
1) Sappiamo che vale per n, quindi:
$(1+a)^n≥1+na$
2) Moltiplicando da entrambe le parti per un valore positivo la disuguaglianza non cambia:
$(1+a)^n(1+a)≥(1+na)(1+a)$
3)Raccogliamo a sinistra e moltiplichiamo a destra:
$(1+a)^(n+1)≥1+(n+1)a+na^2 $
4) Se la parte a sinistra è più grande della destra, questa sarà ancora più grande della destra a cui togliamo qualcosa:
$(1+a)^(n+1)≥1+(n+1)a+na^2≥ 1+(n+1)a$
5)Ed ecco dimostrato che allora la regola se è valida per n, è valida per n+1:
$(1+a)^(n+1)≥ 1+(n+1)a$
Dimmi in che punto ti perdi!