Discussione di un lemma.
Buongiorno,
Sto leggendo il seguente lemma, riportato sul mio libro, sono un pò confuso sull'enunciato, non so' come interpretarlo, segue:
Denotato con $S_n(1)$ il sottoinsieme (sottogruppo) costituito dalle permutazioni $p in S_n$ tali che $p(1)=1$, l'applicazione $p':i in {1,2,...,n-1} to (p(i+1)-1) in {1,2,...,n-1}$ è un elemento di $S_(n-1)$ tale che $s(p')=s(p)$, inoltre risulta biettiva l'applicazione $f:p in S_n(1) to p' in S_(n-1)$.
Cordiali saluti.
Sto leggendo il seguente lemma, riportato sul mio libro, sono un pò confuso sull'enunciato, non so' come interpretarlo, segue:
Denotato con $S_n(1)$ il sottoinsieme (sottogruppo) costituito dalle permutazioni $p in S_n$ tali che $p(1)=1$, l'applicazione $p':i in {1,2,...,n-1} to (p(i+1)-1) in {1,2,...,n-1}$ è un elemento di $S_(n-1)$ tale che $s(p')=s(p)$, inoltre risulta biettiva l'applicazione $f:p in S_n(1) to p' in S_(n-1)$.
Cordiali saluti.
Risposte
[xdom="anto_zoolander"]sposto nella sezione Algebra[/xdom]
non so' come interpretarlo
L'insieme delle permutazioni che fissano un elemento di $\{1,...,n\}$ è un gruppo, sottogruppo di $S_n$, e isomorfo a $S_{n-1}$. Un isomorfismo possibile è quello che hai scritto; il suo inverso è...
Ciao, grazie per la risposta.
Ho poco dimestichezza con algebra\algebra lineare, quindi ti chiedo di avere molta pazienza se commetto qualche errore da far rivoltare qualcuno nella tomba !!
Mi stai dicendo che:
sia $I_n={1,...,n}$ scelgo un elemento di $I_n$ e lo fisso cioè $p(1)=1$, cosi facendo "ho creato" un sottogruppo $S_n(1)$.
Quest'ultimo, è isomorfo ad $S_(n-1)$, grazie all'applicazione $f$... mi vuoi dire questo (almeno penso) ?
Il suo inverso dovrebbe coincidere con $p'$... sembre se non mi sbaglio.
Spero che hai molta pazienza da dedicarmi.
Cordiali saluti.
Ho poco dimestichezza con algebra\algebra lineare, quindi ti chiedo di avere molta pazienza se commetto qualche errore da far rivoltare qualcuno nella tomba !!
Mi stai dicendo che:
sia $I_n={1,...,n}$ scelgo un elemento di $I_n$ e lo fisso cioè $p(1)=1$, cosi facendo "ho creato" un sottogruppo $S_n(1)$.
Quest'ultimo, è isomorfo ad $S_(n-1)$, grazie all'applicazione $f$... mi vuoi dire questo (almeno penso) ?
Il suo inverso dovrebbe coincidere con $p'$... sembre se non mi sbaglio.
Spero che hai molta pazienza da dedicarmi.
Cordiali saluti.
Anto_zoolander, il lemma che ho proposto si trova sul libro di algebra lineare, per cui pensavo che fosse la sezione più idonea... pardon.
"galles90":
Mi stai dicendo che:
sia \(I_n={1,...,n}\) scelgo un elemento di \(I_n\) e lo fisso cioè \(p(1)=1\), cosi facendo "ho creato" un sottogruppo \(S_n(1)\).
Quest'ultimo, è isomorfo ad \(S_(n-1)\), grazie all'applicazione \(f\)... mi vuoi dire questo (almeno penso) ?
Se provi a scriverlo astraendo quel che deve accadere, ti sembrerà ovvio: dato un insieme \(X\) e \(Y\subseteq X\), dimostra che l'insieme delle biiezioni \(\sigma : X \to X\) tali che \(\sigma|_Y \equiv 1\) (quelle cioè che quando ristrette ad \(Y\) sono l'identità) è un sottogruppo di \(\text{Sym}(X)\) (l'insieme delle biiezioni di \(X\) in sé), isomorfo a \(\text{Sym}(X\smallsetminus Y)\).
Lo denotiamo, in mancanza di meglio, \(\text{Sym}_{[Y]}(X)\)
Il suo inverso dovrebbe coincidere con \(p'\)... sembre se non mi sbaglio.
Sì, \((-)' : \text{Sym}_{[1]}(n) \to \text{Sym}(n-1)\) "coincide con la sua inversa" in un senso molto preciso, che ti invito a formalizzare.
buongiorno,
ti rispondo, spero di non dire una panzana
come detto $X$ non vuoto e $Y subset X$.Sial'insieme $X^X$, delle applicazioni "biettive" da $X$ in se stesse,
l'insieme $X^X$ risulta essere un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni $circ$, in quanto:
1) $sigma in X$ è simmettrizzabile se e soltanto se è $sigma$ è biettiva e il simmetrico di $sigma$ rispetto alla composzione $sigma^(-1)$
2) l'elemento neutro è l'identià $id.X$
3) la composizione risulta essere associativa.
Inoltre l'insieme $X^X$ risulta essere un sottogruppo di $Sym(X)$ in quanto l'operazione $circ$ definisce "come visto" su $X^X$ una struttura di gruppo.
Per far vedere l'isomorfismo, lo potrei far vedere tramite il teorema di Cayley ??
---In linea di massima, il lemma ci sta diecendo che la teoria che si applica al gruppo $S_n$, si può applicare anche al gruppo $S_(n-1)$, in quanto sussiste l'isomorfismo ??---
ti rispondo, spero di non dire una panzana
come detto $X$ non vuoto e $Y subset X$.Sial'insieme $X^X$, delle applicazioni "biettive" da $X$ in se stesse,
l'insieme $X^X$ risulta essere un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni $circ$, in quanto:
1) $sigma in X$ è simmettrizzabile se e soltanto se è $sigma$ è biettiva e il simmetrico di $sigma$ rispetto alla composzione $sigma^(-1)$
2) l'elemento neutro è l'identià $id.X$
3) la composizione risulta essere associativa.
Inoltre l'insieme $X^X$ risulta essere un sottogruppo di $Sym(X)$ in quanto l'operazione $circ$ definisce "come visto" su $X^X$ una struttura di gruppo.
Per far vedere l'isomorfismo, lo potrei far vedere tramite il teorema di Cayley ??
---In linea di massima, il lemma ci sta diecendo che la teoria che si applica al gruppo $S_n$, si può applicare anche al gruppo $S_(n-1)$, in quanto sussiste l'isomorfismo ??---
Hai solo riscritto cosa devi dimostrare in una notazione fantasiosa e incoerente; il teorema di Cayley non c'entra nulla, devi usare semplicemente la definizione dell'insieme che ti ho dato; nelle tue notazioni $X^X$ è un sottogruppo di Sym(X), ma allora com'è definito quest'ultimo? Nota che nel tuo argomento (che non è un argomento ma la copia di una definizione) non compare mai Y, non ha quindi speranze di essere giusto.
Ciao,
proviamo una cosa alla volta, cosi non facciamo confusione
sia $X^X={sigma|sigma :X to X}$ dobbiamo dimostrare che $X^X$ risulta essere un gruppo.
Ricordo la definizione di gruppo; si definisce gruppo $X^X$, se $circ$ operazione interna gode:
1) $circ$ è assocciativa
2) esiste in $X^X$ elemento neutro rispetto a $circ$
3) per ogni elemento di $X^X$ è simmetrizzabile rispetto a $circ$.
Proviamo 1)
Siano "per semplicità cambio la notazione" $f,g,h in X^X$;
$f circ (g circ h)=(f circ g) circ h$
per ogni $x in X$ risulta:
$f circ (g circ h)=(f circ (g circ h))x=f((g circ h)x)=f(g(h(x)))$
$(f circ g) circ h=((f circ g) circ h)x=(f circ g)(hx)=f(g(h(x)))$.
Proviamo 2)
Sia $f:X to X$ elemento di $X^X$ e $I_X: X to X$, risulta $f circ id.X=f$.
Proviamo 3)
Sia $f:X to X$ simmetrizzabile, allora esiste il suo simmetrico $g :X to X$. Sia $y$ posto $g(y)=x$ essendo che $f circ g = I_X$ "g fa corrispondere per ogni $y in X$ l'unico $x: f(x)=y$", per cui si ha $f(x)=f(g(y))=y$, quindi $f$ è suriettiva.
Siano $f(x_1)=f(x_2) $, con $x_1, x_2 in X$ dato che $g circ f=I_X$ allora $x_1=g(f(x_1))=g(f(x_2))=x_2$, quindi f è iniettiva. Per cui $f$ risulta essere biettiva.
Sia $f$ biettiva, l'inversa $f^(-1)$ risulta essere il simmetrico, quindi $f circ f^(-1)=I_X=f^(-1)circ f$.
Scusami non capisco quello che mi vui dire qui:
proviamo una cosa alla volta, cosi non facciamo confusione
sia $X^X={sigma|sigma :X to X}$ dobbiamo dimostrare che $X^X$ risulta essere un gruppo.
Ricordo la definizione di gruppo; si definisce gruppo $X^X$, se $circ$ operazione interna gode:
1) $circ$ è assocciativa
2) esiste in $X^X$ elemento neutro rispetto a $circ$
3) per ogni elemento di $X^X$ è simmetrizzabile rispetto a $circ$.
Proviamo 1)
Siano "per semplicità cambio la notazione" $f,g,h in X^X$;
$f circ (g circ h)=(f circ g) circ h$
per ogni $x in X$ risulta:
$f circ (g circ h)=(f circ (g circ h))x=f((g circ h)x)=f(g(h(x)))$
$(f circ g) circ h=((f circ g) circ h)x=(f circ g)(hx)=f(g(h(x)))$.
Proviamo 2)
Sia $f:X to X$ elemento di $X^X$ e $I_X: X to X$, risulta $f circ id.X=f$.
Proviamo 3)
Sia $f:X to X$ simmetrizzabile, allora esiste il suo simmetrico $g :X to X$. Sia $y$ posto $g(y)=x$ essendo che $f circ g = I_X$ "g fa corrispondere per ogni $y in X$ l'unico $x: f(x)=y$", per cui si ha $f(x)=f(g(y))=y$, quindi $f$ è suriettiva.
Siano $f(x_1)=f(x_2) $, con $x_1, x_2 in X$ dato che $g circ f=I_X$ allora $x_1=g(f(x_1))=g(f(x_2))=x_2$, quindi f è iniettiva. Per cui $f$ risulta essere biettiva.
Sia $f$ biettiva, l'inversa $f^(-1)$ risulta essere il simmetrico, quindi $f circ f^(-1)=I_X=f^(-1)circ f$.
Scusami non capisco quello che mi vui dire qui:
"fmnq":
non compare mai Y, non ha quindi speranze di essere giusto.
Il problema è che non hai capito cosa ti ho chiesto di dimostrare. Rileggilo e pensaci.
$X^X$ (che solitamente indica l'insieme delle funzioni da $X$ in sé, cosa che concorda con la definizione che ne dai tu) non è un gruppo, è solo un monoide. Devi prenderle invertibili le funzioni.
E' chiaro cosa volevi dire, ma è anche chiaro che non è possibile farti compiere un progresso finché ciò che pensi non è concordante a ciò che scrivi.
$X^X$ (che solitamente indica l'insieme delle funzioni da $X$ in sé, cosa che concorda con la definizione che ne dai tu) non è un gruppo, è solo un monoide. Devi prenderle invertibili le funzioni.
E' chiaro cosa volevi dire, ma è anche chiaro che non è possibile farti compiere un progresso finché ciò che pensi non è concordante a ciò che scrivi.
bungiorno,
si ho interpretato male la tua richiesta, mi stai chiedendo di dimostrare :
con $Y subset X$, risulti essere un gruppo l'insieme $X^X={f|f:X to X , f_(|Y) equiv I_X}$.
Affinchè risultino simmetrizzabili, occore prenderle invertibili le funzioni.
Quindi con gli accorgimenti visti, dovrei dimostrare che $X^X$ risulta essere un gruppo ?
si ho interpretato male la tua richiesta, mi stai chiedendo di dimostrare :
con $Y subset X$, risulti essere un gruppo l'insieme $X^X={f|f:X to X , f_(|Y) equiv I_X}$.
Affinchè risultino simmetrizzabili, occore prenderle invertibili le funzioni.
Quindi con gli accorgimenti visti, dovrei dimostrare che $X^X$ risulta essere un gruppo ?
È quello che ti ho chiesto di dimostrare, sì. Ma c'è qualche problema, se pensi di averlo fatto con le correzioni che hai apportato al tuo post precedente.
Dammi del contesto (qual è la tua lingua madre? Da quanto tempo provi a studiare matematica?); è infatti molto difficile credere tu possa esprimerti così male senza rendertene conto.
Dammi del contesto (qual è la tua lingua madre? Da quanto tempo provi a studiare matematica?); è infatti molto difficile credere tu possa esprimerti così male senza rendertene conto.
" corregimi su questo "
No, le modifiche fatte sono inerenti ad errori di distrazione. Ovviamente la dimostrazione non la riporto, in quanto suppongo che sia banale e ripetiva, in quanto simile.
Ti ripeto la domanda che ti ho fatto : il lemma che cosa ci sta enunciando, qual è il suo scopo ?
No, le modifiche fatte sono inerenti ad errori di distrazione. Ovviamente la dimostrazione non la riporto, in quanto suppongo che sia banale e ripetiva, in quanto simile.
Ti ripeto la domanda che ti ho fatto : il lemma che cosa ci sta enunciando, qual è il suo scopo ?
il lemma che cosa ci sta enunciando, qual è il suo scopo ?
...Dimostrare che il sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni che fissano {1} è isomorfo a $S_{n-1}$? Solitamente i lemmi sono risultati preliminari a proposizioni più complesse, che si dimostrano a parte per non sviare l'attenzione di un lettore. Questo lemma, a quale risultato più grande è preparatorio?
Mi servirà per dimostrare il teorema di Laplace inerente al calcolo del determinante di una matrice quadrata.
Una domanda:
anzichè fissare $1$, fissassi un altro elemento $a in I_n$, ottengo sempre un sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni che fissano $a$, isomorfo a $S_(n-1)$ ?
Una domanda:
anzichè fissare $1$, fissassi un altro elemento $a in I_n$, ottengo sempre un sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni che fissano $a$, isomorfo a $S_(n-1)$ ?
Ovviamente no, questo è un risultato specialissimo che vale solo per il numero 1.
Tra l'altro, attento che "essere il numero 1" in una lista è una proprietà univoca, che determina quale elemento della lista hai etichettato con "1" in maniera incontrovertibile ed immutabile. Abbiamo infatti spesso questo problema in matematica, quando etichettiamo con il numero 1 qualcosa poi possiamo usarlo solo per riferirci al numero 1... Meno male che esistono insiemi infiniti!
Tra l'altro, attento che "essere il numero 1" in una lista è una proprietà univoca, che determina quale elemento della lista hai etichettato con "1" in maniera incontrovertibile ed immutabile. Abbiamo infatti spesso questo problema in matematica, quando etichettiamo con il numero 1 qualcosa poi possiamo usarlo solo per riferirci al numero 1... Meno male che esistono insiemi infiniti!
Buongiorno,
scusami se sono persistente, ma ho alcuni punti del lemma che non mi sono chiari.
l'applicazioni $p'$ del lemma, per come è stata definita, dovrebbe fissare tutti i punti, in quanto:
$p': i in I_(n-1) to p'(i)=(p(i+1)-1) in I_(n-1)$
$i=2 to p'(2)=2$
la precedente considerazione che ho fatto, è dovuta dalle prime righe della dimostrazione del lemma, cioè:
Dim: Osserviamo che per ogni $i$, con $1 le i le n to 2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n $ in quanto $p(1)=1$, e quindi
$p(i+1)-1 in I_(n-1)$...
Sarà banale come concetto, ma allo stesso tempo non mi torna. Inoltre se $p'$ fissase tutti gli elementi, come potrebbe appartenere ad un gruppo delle permutazioni $S_(n-1)$.
Spero di essere stato chiaro nel porre la domanda.
Ciao.
scusami se sono persistente, ma ho alcuni punti del lemma che non mi sono chiari.
l'applicazioni $p'$ del lemma, per come è stata definita, dovrebbe fissare tutti i punti, in quanto:
$p': i in I_(n-1) to p'(i)=(p(i+1)-1) in I_(n-1)$
$i=2 to p'(2)=2$
la precedente considerazione che ho fatto, è dovuta dalle prime righe della dimostrazione del lemma, cioè:
Dim: Osserviamo che per ogni $i$, con $1 le i le n to 2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n $ in quanto $p(1)=1$, e quindi
$p(i+1)-1 in I_(n-1)$...
Sarà banale come concetto, ma allo stesso tempo non mi torna. Inoltre se $p'$ fissase tutti gli elementi, come potrebbe appartenere ad un gruppo delle permutazioni $S_(n-1)$.
Spero di essere stato chiaro nel porre la domanda.
Ciao.
"galles90":No. \(p'(2)=p(3)-1\), nessuno ti dice che faccia $2$.
l'applicazioni $p'$ del lemma, per come è stata definita, dovrebbe fissare tutti i punti, in quanto:
$p': i in I_(n-1) to p'(i)=(p(i+1)-1) in I_(n-1)$
$i=2 to p'(2)=2$
osserviamo che per ogni $i$, con $1 le i le n to 2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n $ in quanto $p(1)=1$, e quindiNo, semmai $1 le i le n-1$ implica $2 le i+1 le n$, col ché $2 le p(i+1) le n $.
$p(i+1)-1 in I_(n-1)$
Inoltre se $p'$ fissase tutti gli elementi, come potrebbe appartenere ad un gruppo delle permutazioni $S_(n-1)$Non sembri avere un'idea molto chiara di cos'è una permutazione.
Si, abbiamo lo stesso pensiero,la posizione $p'(2)=2$ l'ho dedotta dalla prima parte della dimostrazione che ho riportato, in particolare:
$2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n$ in quanto $p(1)=1$.
Si in effetti non mi è molto chiara la nozione di permutazione.
Scusami, in un gruppo delle permutazioni $S_n$ esiste solo una permutazione che fissa tutti gli elementi di $I_n$ ?
Ciao
$2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n$ in quanto $p(1)=1$.
Si in effetti non mi è molto chiara la nozione di permutazione.
Scusami, in un gruppo delle permutazioni $S_n$ esiste solo una permutazione che fissa tutti gli elementi di $I_n$ ?
Ciao
"galles90":
Scusami, in un gruppo delle permutazioni $S_n$ esiste solo una permutazione che fissa tutti gli elementi di $I_n$ ?
Si chiama "identità".
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