Discriminante forma binaria
Qualcuno mi può spiegare l'affermazione seguente:
in questo contesto:
Consideriamo una forma binaria \(F\) di grado \(n\), i.e. un polinomio omogeneo in due variabili di grado \(n\) a coefficienti in un campo \(K\).
\[ F(x,y) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i y^{n-i} \]
Abbiamo che le radici di \(F\) in \(K\) sono le soluzioni \( [x] \in \mathbb{P}^{1}(K) \) di \( F(x,y)=0 \). Se \( a_j = 0 \) per \( m < j \leq n \) e \( a_m \neq 0 \) il punto all'infinito, i.e. \([1:0] \), è radice della forma binaria. Le altre radici sono le radici in \(K\) del polinomio \(F(x,1) \) di grado \( m \). In particolare se \(K\) è algebricamente chiuso allora \(F\) possiede esattamente \(n \) radici, contate con la loro molteplicità.
Denotiamo con \( [\alpha_i,\beta_i ] \in \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \), con \(1\leq i \leq n \), le radici di \(F\) in \( \mathbb{C} \). È facile vedere che possiamo scegliere dei rappresentanti in \( \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) \) in modo tale che
\[ F(x,y) = \prod_{1 \leq i \leq n } (\beta_ix-\alpha_i y) \]
chiaramente la scelta dei rappresentanti non è unica infatti possiamo sostituire \( [\alpha_i,\beta_i ] \) con \( [\lambda_i\alpha_i, \lambda_i \beta_i ] \) fintantoché \( \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = 1 \).
Definiamo il discriminante della forma \(F\) nel seguente modo
\[ \operatorname{disc} (F) = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n } (\alpha_i \beta_j - \alpha_j \beta_i)^2 \]
Se \( F(x,1) \) è un polinomio di grado esattamente \(n\), allora è immediato che \( \operatorname{disc}(F) = \operatorname{disc}( F(x,1) ) \)
I miei dubbi:
Domanda 1: mi confermate che nella scelta \( [\alpha_i:\beta_i] \) il punto all'infinito non è scelto? Cioé altrimenti se \( F(x,y) \) possiede il punto all'infinito come radice abbiamo comunque che \(F(x,1) \) possiede \(n\) radici in \( \mathbb{C} \) a questo punto avremmo \(n+1\) radici ma gli indici della produttoria vanno da \(1 \) a \(n\).
Comunque sia se ho un polinomio \(P(x)= \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \) di grado \(n\) le cui radici sono \( \alpha_1,\ldots,\alpha_n \) allora il suo discriminante per definizione è
\[ \operatorname{disc}(P(x)) = a_{n}^{2n-2} \prod_{ 1 \leq i < j \leq n} (\alpha_i - \alpha_j )^2 \]
ora siccome siccome abbiamo che \( \mathbb{P}^1(\mathbb{C})= \{ [x] : x \in \mathbb{C} \} \cup \{ [1:0] \} \) abbiamo che le soluzioni di \(F(x,1) \) sono "le stesse" di \(P(x)\), infatti \[ F(x,1) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i 1^{n-i} = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i = P(x) \]
quindi abbiamo che le soluzioni di \(F \) in \( \mathbb{C} \) sono dati dai rappresentanti \( [\alpha_1 : 1 ], \ldots , [ \alpha_n : 1] \in \mathbb{P}^1 (\mathbb{C}) \), eventualmente potrebbe esserci anche il punto all'infinito \( [1:0] \), ma credo che nel calcolo del discriminante non sia contemplato. Ad esempio le soluzioni di \( x^2+y^2 \) sono le rette \( \) e \( [-i:1 ] \). Quindi possiamo sempre trovare dei rappresentanti tale che
\[ \operatorname{disc}(F) = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n } (\alpha_i \cdot 1 - \alpha_j \cdot 1)^2 \]
Ma a sto punto mi manca un fattore \( a_n^{2n-2} \)... per trovare il discrimante di \( F(x,1) \)
Altra cosa non sono nemmeno sicuro che io possa sempre dei rappresentanti delle radici tale che la seconda coordinata omogenea sia uguale a \(1\). Chi mi assicura che in
siano scelti proprio con \( [\alpha_i, 1] \) oppure con \( [\lambda_i\alpha_i:\lambda_i] \) dove \( \prod_{i=0}^{n} \lambda_i = 1 \).
Se \( F(x,1) \) è un polinomio di grado esattamente \(n\), allora è immediato che \( \operatorname{disc}(F) = \operatorname{disc}( F(x,1) ) \)
in questo contesto:
Consideriamo una forma binaria \(F\) di grado \(n\), i.e. un polinomio omogeneo in due variabili di grado \(n\) a coefficienti in un campo \(K\).
\[ F(x,y) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i y^{n-i} \]
Abbiamo che le radici di \(F\) in \(K\) sono le soluzioni \( [x] \in \mathbb{P}^{1}(K) \) di \( F(x,y)=0 \). Se \( a_j = 0 \) per \( m < j \leq n \) e \( a_m \neq 0 \) il punto all'infinito, i.e. \([1:0] \), è radice della forma binaria. Le altre radici sono le radici in \(K\) del polinomio \(F(x,1) \) di grado \( m \). In particolare se \(K\) è algebricamente chiuso allora \(F\) possiede esattamente \(n \) radici, contate con la loro molteplicità.
Denotiamo con \( [\alpha_i,\beta_i ] \in \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \), con \(1\leq i \leq n \), le radici di \(F\) in \( \mathbb{C} \). È facile vedere che possiamo scegliere dei rappresentanti in \( \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) \) in modo tale che
\[ F(x,y) = \prod_{1 \leq i \leq n } (\beta_ix-\alpha_i y) \]
chiaramente la scelta dei rappresentanti non è unica infatti possiamo sostituire \( [\alpha_i,\beta_i ] \) con \( [\lambda_i\alpha_i, \lambda_i \beta_i ] \) fintantoché \( \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = 1 \).
Definiamo il discriminante della forma \(F\) nel seguente modo
\[ \operatorname{disc} (F) = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n } (\alpha_i \beta_j - \alpha_j \beta_i)^2 \]
Se \( F(x,1) \) è un polinomio di grado esattamente \(n\), allora è immediato che \( \operatorname{disc}(F) = \operatorname{disc}( F(x,1) ) \)
I miei dubbi:
Domanda 1: mi confermate che nella scelta \( [\alpha_i:\beta_i] \) il punto all'infinito non è scelto? Cioé altrimenti se \( F(x,y) \) possiede il punto all'infinito come radice abbiamo comunque che \(F(x,1) \) possiede \(n\) radici in \( \mathbb{C} \) a questo punto avremmo \(n+1\) radici ma gli indici della produttoria vanno da \(1 \) a \(n\).
Comunque sia se ho un polinomio \(P(x)= \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \) di grado \(n\) le cui radici sono \( \alpha_1,\ldots,\alpha_n \) allora il suo discriminante per definizione è
\[ \operatorname{disc}(P(x)) = a_{n}^{2n-2} \prod_{ 1 \leq i < j \leq n} (\alpha_i - \alpha_j )^2 \]
ora siccome siccome abbiamo che \( \mathbb{P}^1(\mathbb{C})= \{ [x] : x \in \mathbb{C} \} \cup \{ [1:0] \} \) abbiamo che le soluzioni di \(F(x,1) \) sono "le stesse" di \(P(x)\), infatti \[ F(x,1) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i 1^{n-i} = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i = P(x) \]
quindi abbiamo che le soluzioni di \(F \) in \( \mathbb{C} \) sono dati dai rappresentanti \( [\alpha_1 : 1 ], \ldots , [ \alpha_n : 1] \in \mathbb{P}^1 (\mathbb{C}) \), eventualmente potrebbe esserci anche il punto all'infinito \( [1:0] \), ma credo che nel calcolo del discriminante non sia contemplato. Ad esempio le soluzioni di \( x^2+y^2 \) sono le rette \( \) e \( [-i:1 ] \). Quindi possiamo sempre trovare dei rappresentanti tale che
\[ \operatorname{disc}(F) = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n } (\alpha_i \cdot 1 - \alpha_j \cdot 1)^2 \]
Ma a sto punto mi manca un fattore \( a_n^{2n-2} \)... per trovare il discrimante di \( F(x,1) \)
Altra cosa non sono nemmeno sicuro che io possa sempre dei rappresentanti delle radici tale che la seconda coordinata omogenea sia uguale a \(1\). Chi mi assicura che in
Denotiamo con \( [\alpha_i,\beta_i ] \in \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \), con \(1\leq i \leq n \), le radici di \(F\) in \( \mathbb{C} \). È facile vedere che possiamo scegliere dei rappresentanti in \( \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) \) in modo tale che
\[ F(x,y) = \prod_{1 \leq i \leq n } (\beta_ix-\alpha_i y) \]
siano scelti proprio con \( [\alpha_i, 1] \) oppure con \( [\lambda_i\alpha_i:\lambda_i] \) dove \( \prod_{i=0}^{n} \lambda_i = 1 \).
Risposte
Con l'esempio di \(x^2+y^2 \) abbiamo effettivamente che la mia supposizione che possiamo sempre scegliere dei rappresentanti \( [\alpha_i : \beta_i] \) dove \( \beta_i=1 \) è effettivamente vera. Abbiamo infatti che
\[ x^2+y^2 = (x-iy)(x+iy) \]
e abbiamo pure chiaramente che
\[ \operatorname{disc}(F) = (i+i)^2= -4 = \operatorname{disc}(F(x,1)) \]
ma questo è dovuto al fatto che il coefficiente di \(x^2 \) è uguale a \(1\). Mi chiedo dunque se non bisogna richiedere sempre questa condizione che viene data sotto intesa.
\[ x^2+y^2 = (x-iy)(x+iy) \]
e abbiamo pure chiaramente che
\[ \operatorname{disc}(F) = (i+i)^2= -4 = \operatorname{disc}(F(x,1)) \]
ma questo è dovuto al fatto che il coefficiente di \(x^2 \) è uguale a \(1\). Mi chiedo dunque se non bisogna richiedere sempre questa condizione che viene data sotto intesa.
No forse ci sono. Le radici di \( F(x,1) \) sono \( \frac{\alpha_i}{\beta_i} \) dunque abbiamo che
\[ F(x,1) = \prod_{i=1}^{n} \beta_i \left( x- \frac{\alpha_i}{\beta_i}\right) \]
da cui risulta che il coefficiente \(a_n \) del polinomio \( F(x,1) \) è dato da \( \prod_{1\leq i \leq n} \beta_i \) per cui
\[ \operatorname{disc}(F(x,1)) = \left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2} \cdot \prod_{1\leq i < j \leq n} \left( \frac{\alpha_i}{\beta_i} - \frac{\alpha_j}{\beta_j} \right)^2 \]
\[ = \frac{\left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2}}{\prod_{1 \leq i < j \leq n} (\beta_i \beta_j)^2} \cdot \prod_{1\leq i < j \leq n} (\beta_i \beta_j)^2 \left( \frac{\alpha_i}{\beta_i} - \frac{\alpha_j}{\beta_j} \right)^2\]
\[ = \frac{\left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2}}{\left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2}} \cdot \prod_{1\leq i < j \leq n} ( \alpha_i \beta_j - \alpha_j \beta_i )^2 = \operatorname{disc}(F) \]
E richiede chiaramente che \( a_n \neq 0 \) poiché altrimenti il punti all'infinito è radice di qualche ordine e quindi \( \beta_i =0 \) per qualche \(i\) e questo è problematico.
\[ F(x,1) = \prod_{i=1}^{n} \beta_i \left( x- \frac{\alpha_i}{\beta_i}\right) \]
da cui risulta che il coefficiente \(a_n \) del polinomio \( F(x,1) \) è dato da \( \prod_{1\leq i \leq n} \beta_i \) per cui
\[ \operatorname{disc}(F(x,1)) = \left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2} \cdot \prod_{1\leq i < j \leq n} \left( \frac{\alpha_i}{\beta_i} - \frac{\alpha_j}{\beta_j} \right)^2 \]
\[ = \frac{\left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2}}{\prod_{1 \leq i < j \leq n} (\beta_i \beta_j)^2} \cdot \prod_{1\leq i < j \leq n} (\beta_i \beta_j)^2 \left( \frac{\alpha_i}{\beta_i} - \frac{\alpha_j}{\beta_j} \right)^2\]
\[ = \frac{\left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2}}{\left( \prod_{i=1}^{n} \beta_i \right)^{2n-2}} \cdot \prod_{1\leq i < j \leq n} ( \alpha_i \beta_j - \alpha_j \beta_i )^2 = \operatorname{disc}(F) \]
E richiede chiaramente che \( a_n \neq 0 \) poiché altrimenti il punti all'infinito è radice di qualche ordine e quindi \( \beta_i =0 \) per qualche \(i\) e questo è problematico.
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