Diofantea - successione

[pc_andreone]

Buongiorno,

Ho un problemino di successioni

partendo da un numero n

$n=6$

e aggiungendo a questo numero di volta in volta la successione dei numeri dispari

$6+1=7$
$7+3=10$
$10+5=15$
$......$

dopo quanti passaggi otterrò un quadrato perfetto?


ad esempio:

$7+1=8$
$8+3=11$
$11+5=16$

$\sqrt16=4$

3 passaggi

ed è possibile sapere a prescindere quanti ve ne siano (di quadrati perfetti) tra l'n iniziale e un N generico?
Ovviamente parliamo di soli numeri interi.

[pc_andreone]

errata corrige:

la successione dispara parte da un numero disparo M, non necessariamente da uno.

[pc_andreone]

Lo scrivo meglio:



Siano [tex]m\in\mathbb{N}[/tex],[tex]2s+1=:d \in \mathbb{D}:=\{1,3,5,...\}\subseteq \mathbb{N}[/tex]. Occorre trovare, se esiste, un $n_m$ tale che

[tex]S_m := m+\sum_{i=s}^{n_m} (2i+1) = m+ (n_m+1)^2 - ...[/tex]

sia un quadrato perfetto

[pc_andreone]

Nessuno può aiutarmi???

[Lord K]

Sapendo che la somma dei dispari partendo da [tex]1[/tex] è un quadrato perfetto, allora in sostanza ti interessa sapere quando:

[tex]x^2=c+y^2-z^2[/tex]

dove [tex]c[/tex] è il numero di partenza,[tex]x[/tex] è la tua incognita e [tex]\displaystyle \sum_{i=s+1}^k(2i-1)=\sum_{i=1}^k(2i-1) - \sum_{i=1}^s(2i-1) = y^2 - z^2[/tex], con [tex]s \leq k[/tex].

Posso scrivere:

[tex]x^2=c+y^2-z^2[/tex]
[tex]x^2=c+k^2-(k-r)^2[/tex]
[tex]x^2=c+(2k-r)r[/tex]

Dammi un poco che ci penso su.

[Sk_Anonymous]

A me viene dopo un po' di sostituzioni viene fuori una equazione di terzo grado... ma non ho tempo di controllare.

Mi sono fatto un disegnino sulla carta a quadretti che consente di vedere che succede.

Metti in cima una barra orizzontale di quedrettini lunga come il tuo numero di partenza

e sotto tante barre con i dispari in serie, uno per riga.

Così arrivi subito a definire l'equazioncina di come variano Y ed X e a capire che la soluzione è quando l'area in "eccesso" coincide con quella mancande, necessaria a completare un quadrato.


Ciao
Stefano

[pc_andreone]

Il problema sembra semplice xò:

lord k:

E' vero che la somma dei dispari partendo da uno è una successione di quadrati perfetti, ma nel mio caso parto da un numero che è si positivo ma diverso da uno.

10+3=13
13+5=18
18+7=25

25=quadrato perfetto

la successione dispari puo partire da qualsiasi numero

primogamma:

i numeri non sono generalmente cosi piccoli da poterli strutturare visivamente.

e comunque ho la vaga impressione, ad intuito che vi sia una soluzione piu semplice....tipo equazione di 2° grado...



Fatemi sapere.

[Lord K]

Se guardi e leggi bene sopra, il tutto è una diofantea di secondo grado ^_^

[pc_andreone]

"Lord K":Se guardi e leggi bene sopra, il tutto è una diofantea di secondo grado ^_^

Si scusami era per gamma...ho scollegato terribilmente le cose.

Comunque, ricorreggimi se sbaglio, non hai valutato la possibilita che non parta da 1?

[Lord K]

Sì infatti la somma di numeri dispari consecutivi è sempre rappresentata dalla differenza tra due quadrati, se si parte da [tex]1[/tex] allora il secondo quadrato è zero!

"Lord K":...dove [tex]c[/tex] è il numero di partenza,[tex]x[/tex] è la tua incognita e [tex]\displaystyle \sum_{i=s+1}^k(2i-1)=\sum_{i=1}^k(2i-1) - \sum_{i=1}^s(2i-1) = y^2 - z^2[/tex]

[pc_andreone]

Ok, perfetto.

se io conoscessi K?

so per certo che con i = K che mi da un quadrato perfetto.

E so per certo che di soluzioni prima di K o ve ne è una o non ve ne è nessuna (di secondo grado per questo).


i<=K (non è possibile che non vi siano soluzioni, una è in coincidenza con i = K e io devo trovare l'altra (se esistente) con i

Cita

Segnala

[pc_andreone]

"Lord K":

Posso scrivere:

[tex]x^2=c+y^2-z^2[/tex]
[tex]x^2=c+k^2-(k-r)^2[/tex]
[tex]x^2=c+(2k-r)r[/tex]

.

Io non sono ancora arrivato a nulla di utile, qualcuno di voi?

vi ricordo che io conosco sia k che c.


PS: se non lo risolvo impazzirò a breve

[Sk_Anonymous]

Hai provato a fare il disegnino a quadratini disposti secondo X ed Y ?

n = numero "base" per costruire i dispari successivi: (2n-1)

A1 = "area" pari al tuo numero di partenza

A2 = area pari alla somma dei dispari successivi (già = ad un quadrato perfetto)
disegna le barre con i quadratini... e ti viene una "scalinata".

A3 = area della scalinata che manca rispetto al quadrato $X*Y$

A4 = area della scalinata che cresce rispetto al quadrato $X*Y$

$AREA FINALE = X * Y$ (quindi $X^2$ o $Y^2$) = A1+ A2

Chi fornisce la soluzione è $A3 = A4+ A1$ (ma non è detto che sia risolvibile in quanto compare un Int(A1/(2n-1)...+ "Resto intero" che complica le cose)

Ciao
Stefano

[pc_andreone]

scusami ma nn ho capito molto.

puoi spegarti meglio??

[Sk_Anonymous]

L'unico esempio che hai fatto si basa sul semplice e poco conosciuto teorema che dice che la somma dei dispari successivi è sempre un quadrato perfetto...

Questo già dovrebbe aiutarti anche a cercre su wikipedia la dimostrazione che è una buona traccia per capire il caso più complicato che ti poni.

Poi se vuoi continuare a scornarti, se riesco ti posto l'impostazione sulla carta a quadretti, perchè ti fa capire dova sta la difficoltà della soluzione (sempre se esiste...)

Ciao
Stefano

[Sk_Anonymous]

Eccola...



Scusa la nota al fondo che è scontata...

Se poi complichi il caso "generalizzandolo", come detto, devi dividere il tuo numero per il valore della base del quadrato finale.

Questo da certamente un valore (intero) più un resto (0 o più...) etc...

Ciao
Stefano